Dentre as funções listadas a seguir, verifique quais são homogêneas calculando, nesses casos, o grau.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é homogênea e, se for, calcular o grau de homogeneidade.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é a soma da expressão
com . - Não há outras condições fornecidas (domínio, restrições sobre
ou sobre ); trabalhar a verificação da propriedade de homogeneidade padrão.
Passo 2
Definição e ideia prática (mini-aula): uma função
é homogênea de grau
se, para todo
(tipicamente
, mas vale para todos os reais quando as potências fazem sentido),
Regra prática muito usada: um monômio
é homogêneo de grau
. Se uma função é soma de termos homogêneos e todos têm o mesmo grau, a soma também é homogênea desse mesmo grau. Se houver termos com graus diferentes, a função não é homogênea. Isso vale mesmo quando os expoentes são fracionários.
Passo 3
Analisar o primeiro termo
. Primeiro expandir para ver os monômios que aparecem:
Agora ver os graus dos monômios:
-
tem grau . -
tem grau . -
tem grau .
Portanto o termoé homogêneo de grau .
Passo 4
Analisar o segundo termo
. O grau desse monômio é a soma dos expoentes:
Portanto
é homogêneo de grau
.
Passo 5
Como ambos os termos são homogêneos de grau
, a soma também deve ser homogênea de grau
. Para confirmar diretamente a propriedade de escala, calcular
:
Fatorando as potências de
em cada parcela:
Somando as parcelas obtém-se
o que confirma que
é homogênea de grau
.
Resposta
A função é homogênea de grau
.