Dentre as funções listadas a seguir, verifique quais são homogêneas calculando, nesses casos, o grau.
f(x, y)=x(x-y)^{2}-x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{4}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x(x-y)^{2}-x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{4}{3}}
é homogênea e, se for, calcular o grau de homogeneidade.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é a soma da expressão x(x-y)^{2} com -x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{4}{3}}.
  • Não há outras condições fornecidas (domínio, restrições sobre x,y ou sobre t); trabalhar a verificação da propriedade de homogeneidade padrão.

Passo 2

Definição e ideia prática (mini-aula): uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t (tipicamente t>0, mas vale para todos os reais quando as potências fazem sentido),
f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
Regra prática muito usada: um monômio \,x^{a}y^{b}\, é homogêneo de grau a+b. Se uma função é soma de termos homogêneos e todos têm o mesmo grau, a soma também é homogênea desse mesmo grau. Se houver termos com graus diferentes, a função não é homogênea. Isso vale mesmo quando os expoentes são fracionários.

Passo 3

Analisar o primeiro termo \,x(x-y)^{2}\,. Primeiro expandir para ver os monômios que aparecem:
x(x-y)^{2}=x(x^{2}-2xy+y^{2})=x^{3}-2x^{2}y+xy^{2}.
Agora ver os graus dos monômios:
  • \,x^{3}\, tem grau 3.
  • \,x^{2}y\, tem grau 2+1=3.
  • \,xy^{2}\, tem grau 1+2=3.
    Portanto o termo x(x-y)^{2} é homogêneo de grau 3.

Passo 4

Analisar o segundo termo -x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{4}{3}}. O grau desse monômio é a soma dos expoentes:
\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=\frac{9}{3}=3.
Portanto -x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{4}{3}} é homogêneo de grau 3.

Passo 5

Como ambos os termos são homogêneos de grau 3, a soma também deve ser homogênea de grau 3. Para confirmar diretamente a propriedade de escala, calcular f(tx,ty):
f(tx,ty)= (tx)\bigl(tx-ty\bigr)^{2}-(tx)^{\frac{5}{3}}(ty)^{\frac{4}{3}}.
Fatorando as potências de t em cada parcela:
(tx)\bigl(t(x-y)\bigr)^{2}=t\cdot x\cdot t^{2}(x-y)^{2}=t^{3}x(x-y)^{2},
(tx)^{\frac{5}{3}}(ty)^{\frac{4}{3}}=t^{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}\cdot t^{\frac{4}{3}}y^{\frac{4}{3}}=t^{\frac{5}{3}+\frac{4}{3}}x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{4}{3}}=t^{3}x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{4}{3}}.
Somando as parcelas obtém-se
f(tx,ty)=t^{3}\bigl(x(x-y)^{2}-x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{4}{3}}\bigr)=t^{3}f(x,y),
o que confirma que f é homogênea de grau 3.

Resposta

A função é homogênea de grau 3.

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