Questão 1:
(a) (0,5 pontos) Defina isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o conceito de isomorfismo entre espaços vetoriais, que é parte da Álgebra Linear. Para isso, vamos recordar o que é uma aplicação linear e os requisitos de injeção e sobrejeção.

Passo 2

Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Dizemos que uma aplicação f\colon V \to W é um isomorfismo de espaços vetoriais se satisfaz dois requisitos:
  1. f é linear, ou seja, para todos u,v \in V e todo escalar \alpha\in K vale
f(u+v) \;=\; f(u)+f(v),
f(\alpha\,u) \;=\; \alpha\,f(u).
  1. f é bijetiva, isto é:
  • injeção: \ker(f)=\{0\}, ou seja,
f(v)=0\implies v=0,
  • sobrejeção: \operatorname{Im}(f)=W, ou seja, para todo w\in W existe v\in V tal que f(v)=w.

Resposta

Um isomorfismo de espaços vetoriais é uma aplicação
f\colon V\to W
que é linear e bijetiva. Isso garante que V e W são estruturalmente “iguais” como espaços vetoriais.

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