• Questão 2 : (2 pontos) Para a transformação linear a seguir, determine o núcleo (uma base para este e sua dimensão), a imagem (uma base para esta e sua dimensão). Em seguida diga se T é injetora ou se T é sobrejetora.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; T(x, y, z)=(x-z, 2 x+y+3 z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=(x-z,\;2x+y+3z)
e pede: (i) núcleo de T (uma base e sua dimensão), (ii) imagem de T (uma base e sua dimensão), e (iii) dizer se T é injetora ou sobrejetora. Vamos usar resolução de sistemas lineares para o núcleo e a análise das colunas da matriz associada para a imagem.

Passo 2

Para achar \ker(T)\), resolvemos \[T(x,y,z)=(0,0)\iff \begin{cases} x - z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x = z\]. Substituindo em \(2x+y+3z=0
2z + y + 3z = 0\implies y + 5z = 0\implies y = -5z.
Logo todo vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z) = (z,\,-5z,\,z) = z\,(1,-5,1).
Uma base de \ker(T) é \{(1,-5,1)\} e sua dimensão é 1.

Passo 3

Para a imagem, observamos a matriz de T na base canônica:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix},
cujas colunas são \,v_1=(1,2),\,v_2=(0,1),\,v_3=(-1,3). Verificamos dependência:
v_3 = -1\cdot v_1 + 5\cdot v_2,
então apenas v_1 e v_2 são necessários para gerar todas as colunas. Assim
\mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,2),(0,1)\},
uma base é \{(1,2),(0,1)\} e a dimensão (posto) é 2. Note que \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^2.

Passo 4

Pela nulidade e posto temos
\dim\ker(T)=1>0\implies T\text{ não é injetora},ãé
\dim\mathrm{Im}(T)=2=\dim\mathbb{R}^2\implies T\text{ é sobrejetora}.é

Resposta

Núcleo: \ker(T)=\{z(1,-5,1)\mid z\in\mathbb{R}\}. Base = \{(1,-5,1)\}. Dimensão = 1.
Imagem: \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^2. Base = \{(1,2),(0,1)\}. Dimensão = 2.
T não é injetora e é sobrejetora.

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