Considere uma corda de densidade linear de massa mu e comprimento ell, presa nas suas duas extremidades e sujeita assim a uma tensão T. Utilizando a equação geral de ondas, encontre a relação entre a velocidade de fase v, mu e T da corda.

Passo 1

O enunciado dá uma corda de densidade linear de massa mu, tensão T e comprimento ell, presa nas duas extremidades. Pede–se a relação entre a velocidade de fase v das oscilações transversais, a densidade mu e a tensão T. Vamos usar a derivação da equação de onda para uma corda tensionada e compará-la com a forma padrão da equação de onda.

Passo 2

Considere um elemento infinitesimal da corda, de comprimento dx. A massa desse elemento é mu,dx. Se y(x,t) for o deslocamento transverse, as forças verticais nas extremidades deste elemento, devido à tensão T, são aproximadamente
Tpartial ypartial x|x+dx - Tpartial ypartial x|x approx Tpartial^2 ypartial x^2,dx
Pela segunda lei de Newton, a resultante dessas forças deve igualar a massa vezes a aceleração transverse.

Passo 3

Aplicando F = m a ao elemento:
mu,dx;partial^2 ypartial t^2 = T,partial^2 ypartial x^2,dx
Cancelando dx, obtemos a equação de onda da corda:
mu,partial^2 ypartial t^2 = T,partial^2 ypartial x^2

Passo 4

A forma canônica da equação de onda em uma dimensão é
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2,partial^2 ypartial t^2,
onde v é a velocidade de fase. Comparando com
T,partial^2 ypartial x^2 = mu,partial^2 ypartial t^2,
vemos que
Tmu = v^2

Resposta

v = raizTmu

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