Extra (1,0 ponto)
(a) Enuncie o Teorema Fundamental do Calculo.
(b) Construa um exemplo no qual é necessário o Teorema Fundamental do Calculo e o resolva.
(a) Enuncie o Teorema Fundamental do Calculo.
(b) Construa um exemplo no qual é necessário o Teorema Fundamental do Calculo e o resolva.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo.
- (b) Construir um exemplo em que seja necessário usar o Teorema Fundamental do Cálculo e resolver esse exemplo.
Não há outros dados fornecidos pelo enunciado.
Passo 2
Enuncie a versão completa e em duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo (vou escrever cada parte com hipótese e conclusão, explicando o significado das letras).
Parte 1 (às vezes chamada de “Teorema Fundamental — parte I”):
Seja uma função contínua em
. Defina a função
por
Parte 1 (às vezes chamada de “Teorema Fundamental — parte I”):
Seja
para todo
. Então
é diferenciável em
e vale
Aqui:
é a variável de integração (variável “dummy”),
é o ponto onde avaliamos a função acumulada
, e a hipótese de continuidade de
em
garante que
é diferenciável e que sua derivada é exatamente
.
Passo 3
Parte 2 (às vezes chamada de “Teorema Fundamental — parte II” ou “Teorema da integral definida por primitiva”):
Seja contínua em
. Se
é qualquer primitiva (antiderivada) de
em
— isto é,
para todo
— então
Seja
Aqui: encontrar uma primitiva
de
permite calcular a integral definida apenas avaliando
nas extremidades. As hipóteses de continuidade asseguram que uma primitiva existe localmente e que a fórmula acima vale.
Passo 4
Explicação didática do porquê das duas partes (intuição curta e o que cada parte permite que se faça na prática).
- A Parte 1 diz que a integral acumulada até
cresce exatamente com a taxa . Em linguagem simples: se soma as contribuições de de até , então a velocidade de variação dessa soma ao mover é a própria função naquele ponto. - A Parte 2 diz que, ao conhecer uma primitiva
de , não é preciso somar pedaço a pedaço: basta calcular a diferença . Isso transforma o problema de avaliar uma soma contínua (integral definida) em um cálculo de primitiva seguido de uma subtração — muito mais prático em provas.
Passo 5
Esboço de demonstração curta (não formal, mas suficiente para entender por que funciona).
- Para a Parte 1: escrevendo por definição a derivada,
Se
é contínua em
, para
pequeno
fica arbitrariamente próximo de
em
; portanto a média da função no intervalo
tende a
. Assim o limite acima é
.
- Para a Parte 2: se
, então a função tem derivada zero (pela Parte 1 e por ), logo é constante; avaliando em e em obtém-se a fórmula .
Passo 6
Escolha do exemplo (construção). Vou construir um exemplo simples, didático e que mostre utilidade das duas partes:
Defina
Defina
Este exemplo é bom porque:
- Para obter
diretamente precisamos usar a Parte 1 do Teorema Fundamental. - Para calcular um valor concreto como
(onde é a base dos logaritmos naturais) usamos a Parte 2 depois de encontrar uma primitiva de .
Passo 7
Passo a passo para achar
(uso direto da Parte 1).
Pela definição de e pela Parte 1 do Teorema Fundamental, como
é contínua em
(e em qualquer intervalo
com
), tem-se
Pela definição de
Explicando: a variável
é apenas a variável de integração; quando diferenciamos em relação a
(limite superior), a derivada é a integrando avaliado em
.
Passo 8
Agora calcular
(uso da Parte 2; encontrar primitiva).
Queremos
Queremos
Para encontrar uma primitiva de
usamos uma substituição simples: ponha
. Então
, portanto
Logo uma primitiva
é
. Aplicando a Parte 2 do Teorema Fundamental:
Como
e
, obtemos
Passo 9
Observações e reforço do aprendizado (por que isso é útil e o que lembrar para a prova).
- Se o problema pedir a derivada de uma integral com limite variável, aplique diretamente a Parte 1: a derivada é o integrando avaliado no limite multiplicado pela derivada desse limite (se o limite for função de
, aplicar cadeia). - Se o problema pedir avaliar uma integral definida, tente achar uma primitiva
(antiderivada) e use a Parte 2: calcule . Para achar primitivas, lembre-se de técnicas padrão: substituição, integração por partes, frações parciais, etc. - No exemplo acima a substituição
foi a dica natural porque a integrando tinha exatamente multiplicado por .
Resposta
(a) Parte 1 — Se
é contínua em
e
, então
é diferenciável em
e
para todo
.
Parte 2 — Se é contínua em
e
é uma primitiva de
em
(isto é,
), então
Parte 2 — Se
(b) Exemplo:
. Então
e
.