Extra (1,0 ponto)
(a) Enuncie o Teorema Fundamental do Calculo.
(b) Construa um exemplo no qual é necessário o Teorema Fundamental do Calculo e o resolva.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo.
  • (b) Construir um exemplo em que seja necessário usar o Teorema Fundamental do Cálculo e resolver esse exemplo.
Não há outros dados fornecidos pelo enunciado.

Passo 2

Enuncie a versão completa e em duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo (vou escrever cada parte com hipótese e conclusão, explicando o significado das letras).
Parte 1 (às vezes chamada de “Teorema Fundamental — parte I”):
Seja f uma função contínua em [a,b]. Defina a função F por
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
para todo x\in[a,b]. Então F é diferenciável em (a,b) e vale
F'(x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in(a,b).
Aqui: t é a variável de integração (variável “dummy”), x é o ponto onde avaliamos a função acumulada F, e a hipótese de continuidade de f em [a,b] garante que F é diferenciável e que sua derivada é exatamente f.

Passo 3

Parte 2 (às vezes chamada de “Teorema Fundamental — parte II” ou “Teorema da integral definida por primitiva”):
Seja f contínua em [a,b]. Se G é qualquer primitiva (antiderivada) de f em [a,b] — isto é, G'(x)=f(x) para todo x\in[a,b] — então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = G(b)-G(a).
Aqui: encontrar uma primitiva G de f permite calcular a integral definida apenas avaliando G nas extremidades. As hipóteses de continuidade asseguram que uma primitiva existe localmente e que a fórmula acima vale.

Passo 4

Explicação didática do porquê das duas partes (intuição curta e o que cada parte permite que se faça na prática).
  • A Parte 1 diz que a integral acumulada até x cresce exatamente com a taxa f(x). Em linguagem simples: se F(x) soma as contribuições de f de a até x, então a velocidade de variação dessa soma ao mover x é a própria função f naquele ponto.
  • A Parte 2 diz que, ao conhecer uma primitiva G de f, não é preciso somar pedaço a pedaço: basta calcular a diferença G(b)-G(a). Isso transforma o problema de avaliar uma soma contínua (integral definida) em um cálculo de primitiva seguido de uma subtração — muito mais prático em provas.

Passo 5

Esboço de demonstração curta (não formal, mas suficiente para entender por que funciona).
  • Para a Parte 1: escrevendo por definição a derivada,
F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Se f é contínua em x, para h pequeno f(t) fica arbitrariamente próximo de f(x) em [x,x+h]; portanto a média da função no intervalo [x,x+h] tende a f(x). Assim o limite acima é f(x).
  • Para a Parte 2: se G'\!=\!f, então a função H(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt-G(x) tem derivada zero (pela Parte 1 e por G'\!=\!f), logo H é constante; avaliando em a e em b obtém-se a fórmula \int_a^b f = G(b)-G(a).

Passo 6

Escolha do exemplo (construção). Vou construir um exemplo simples, didático e que mostre utilidade das duas partes:
Defina
F(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t}\,dt.
Este exemplo é bom porque:
  • Para obter F'(x) diretamente precisamos usar a Parte 1 do Teorema Fundamental.
  • Para calcular um valor concreto como F(e) (onde e é a base dos logaritmos naturais) usamos a Parte 2 depois de encontrar uma primitiva de \dfrac{\ln t}{t}.

Passo 7

Passo a passo para achar F'(x) (uso direto da Parte 1).
Pela definição de F e pela Parte 1 do Teorema Fundamental, como \dfrac{\ln t}{t} é contínua em [1,e] (e em qualquer intervalo [1,x] com x>0), tem-se
F'(x)=\frac{\ln x}{x}.
Explicando: a variável t é apenas a variável de integração; quando diferenciamos em relação a x (limite superior), a derivada é a integrando avaliado em t=x.

Passo 8

Agora calcular F(e) (uso da Parte 2; encontrar primitiva).
Queremos
F(e)=\int_{1}^{e} \frac{\ln t}{t}\,dt.
Para encontrar uma primitiva de \dfrac{\ln t}{t} usamos uma substituição simples: ponha u=\ln t. Então du=\dfrac{1}{t}\,dt, portanto
\int \frac{\ln t}{t}\,dt = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C = \frac{(\ln t)^{2}}{2}+C.
Logo uma primitiva G é G(t)=\dfrac{(\ln t)^{2}}{2}. Aplicando a Parte 2 do Teorema Fundamental:
F(e)=G(e)-G(1)=\frac{(\ln e)^{2}}{2}-\frac{(\ln 1)^{2}}{2}.
Como \ln e=1 e \ln 1=0, obtemos
F(e)=\frac{1^{2}}{2}-0=\frac{1}{2}.

Passo 9

Observações e reforço do aprendizado (por que isso é útil e o que lembrar para a prova).
  • Se o problema pedir a derivada de uma integral com limite variável, aplique diretamente a Parte 1: a derivada é o integrando avaliado no limite multiplicado pela derivada desse limite (se o limite for função de x, aplicar cadeia).
  • Se o problema pedir avaliar uma integral definida, tente achar uma primitiva G (antiderivada) e use a Parte 2: calcule G(b)-G(a). Para achar primitivas, lembre-se de técnicas padrão: substituição, integração por partes, frações parciais, etc.
  • No exemplo acima a substituição u=\ln t foi a dica natural porque a integrando tinha exatamente \ln t multiplicado por 1/t.

Resposta

(a) Parte 1 — Se f é contínua em [a,b] e F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt, então F é diferenciável em (a,b) e F'(x)=f(x) para todo x\in(a,b).
Parte 2 — Se f é contínua em [a,b] e G é uma primitiva de f em [a,b] (isto é, G'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = G(b)-G(a).
(b) Exemplo: F(x)=\int_{1}^{x} \dfrac{\ln t}{t}\,dt. Então F'(x)=\dfrac{\ln x}{x} e F(e)=\dfrac{1}{2}.

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