Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilibrio com velocidade inicial ut(x, 0)=g(x). Nos problemas de 5 a 8, faça os passos descritos a seguir. Considere L=10 e a=1 nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento u(x, t) para a função g(x) dada.
(b) Faça o gráfico de u(x, t) em função de x para 0 <= x <= 10 e para diversos valores de t entre t=0 e t=20.
(c) Faça o gráfico de u(x, t) em função de t para 0 <= t <= 20 e para diversos valores de x.
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos. um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
g(x)=ll1, & L / 2-1<x<L / 2+1 0, & caso contrário (L>2)á,

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda
utt=a^2,uxx, 0<x<L,
com condições de contorno
u(0,t)=u(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x),
onde L=10, a=1 e
g(x)= 1,&4<x<6, 0,&caso contrário á
Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em senos para resolver.

Passo 2

A solução em série de modos (só com senos para respeitar u=0 nas extremidades) é
u(x,t)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpi xLr)sin!l(tfracnpi a,tLr),
onde os coeficientes An vêm da condição de velocidade inicial:
An=2L,npi aintegral0^Lg(xi),sin!l(tfracnpi xiLr),dxi

Passo 3

Como g(xi)=1 só em xiin(4,6) e zero em outro lugar, fica
integral0^10g(xi)sin!l(tfracnpixi10r),dxi =integral4^6sin!l(tfracnpixi10r),dxi =10npil[cos!l(tfracnpicdot410r) -cos!l(tfracnpicdot610r)r]
Logo, para a=1 e L=10,
An =210,npicdot10npi l[cos!l(tfrac2pi n5r)-cos!l(tfrac3pi n5r)r] =40n^2pi^2sin!l(tfracpi n2r)sin!l(tfracpi n10r)

Passo 4

Substituindo em u(x,t) obtemos a solução final
u(x,t) =sumn=1^infty 40n^2pi^2, sin!l(tfracpi n2r), sin!l(tfracpi n10r), sin!l(tfracpi n x10r), sin!l(tfracpi n t10r)

Passo 5

Para fazer o gráfico de u(x,t) em função de x (item b), truncamos a série em n<= N (por exemplo N=50), escolhemos alguns instantes tin0,5,10,15,20 e plotamos
xmapsto u(x,t)(0<= x<=10)
num software como Python/Matlab.

Passo 6

Para o gráfico de u(x,t) em função de t (item c), fixamos pontos xin2,4,5,6,8 e plotamos
tmapsto u(x,t)(0<= t<=20),
usando o mesmo truncamento.

Passo 7

Para a animação (item d), varremos t continuamente de 0 a um período (por exemplo T=20) e, para cada t, geramos o perfil xmapsto u(x,t). Juntando os quadros formamos o vídeo.

Passo 8

O movimento (item e) mostra inicialmente um pulso central em 4<x<6 que se divide em duas ondas opostas, propaga-se em direção às extremidades fixas, reflete em fase invertida e retorna, repetindo esse ciclo periodicamente.

Resposta

(a)
u(x,t) =sumn=1^infty 40n^2pi^2 sin!(tfracpi n2) sin!(tfracpi n10) sin!(tfracpi n x10) sin!(tfracpi n t10)
(b) Truncar n<= 50 e plotar u(x,t) vs.\ x para t=0,5,10,15,20.
(c) Plotar u(x,t) vs.\ t para x=2,4,5,6,8.
(d) Criar anima\c{c}~{a}o de x mapsto u(x,t) variando t de 0 a 20.
(e) O pulso inicial se quebra em duas ondas que viajam at’{e} as extremidades, refletem e retornam, repetindo um movimento peri’{o}dico.

Exercícios relacionados