Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilibrio com velocidade inicial . Nos problemas de 5 a 8, faça os passos descritos a seguir. Considere e nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento para a função dada.
(b) Faça o gráfico de em função de para e para diversos valores de entre e .
(c) Faça o gráfico de em função de para para diversos valores de .
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos. um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases. ,
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação da onda
utt=a^2,uxx, 0<x<L,
com condições de contorno
u(0,t)=u(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x),
onde L=10, a=1 e
g(x)= 1,&4<x<6, 0,&caso contrário á
Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em senos para resolver.
Passo 2
A solução em série de modos (só com senos para respeitar u=0 nas extremidades) é
An =210,npicdot10npi l[cos!l(tfrac2pi n5r)-cos!l(tfrac3pi n5r)r] =40n^2pi^2sin!l(tfracpi n2r)sin!l(tfracpi n10r)
Passo 4
Substituindo em u(x,t) obtemos a solução final
u(x,t) =sumn=1^infty 40n^2pi^2, sin!l(tfracpi n2r), sin!l(tfracpi n10r), sin!l(tfracpi n x10r), sin!l(tfracpi n t10r)
Passo 5
Para fazer o gráfico de u(x,t) em função de x (item b), truncamos a série em n<= N (por exemplo N=50), escolhemos alguns instantes tin0,5,10,15,20 e plotamos
xmapsto u(x,t)(0<= x<=10)
num software como Python/Matlab.
Passo 6
Para o gráfico de u(x,t) em função de t (item c), fixamos pontos xin2,4,5,6,8 e plotamos
tmapsto u(x,t)(0<= t<=20),
usando o mesmo truncamento.
Passo 7
Para a animação (item d), varremos t continuamente de 0 a um período (por exemplo T=20) e, para cada t, geramos o perfil xmapsto u(x,t). Juntando os quadros formamos o vídeo.
Passo 8
O movimento (item e) mostra inicialmente um pulso central em 4<x<6 que se divide em duas ondas opostas, propaga-se em direção às extremidades fixas, reflete em fase invertida e retorna, repetindo esse ciclo periodicamente.
Resposta
(a)
u(x,t) =sumn=1^infty 40n^2pi^2 sin!(tfracpi n2) sin!(tfracpi n10) sin!(tfracpi n x10) sin!(tfracpi n t10)
(b) Truncar n<= 50 e plotar u(x,t) vs.\ x para t=0,5,10,15,20.
(c) Plotar u(x,t) vs.\ t para x=2,4,5,6,8.
(d) Criar anima\c{c}~{a}o de x mapsto u(x,t) variando t de 0 a 20.
(e) O pulso inicial se quebra em duas ondas que viajam at’{e} as extremidades, refletem e retornam, repetindo um movimento peri’{o}dico.