Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty 3^n n^2n!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty 3^nn^2n!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão de Cauchy, já que temos um termo que envolve potências e fatorial.

Passo 2

Note que todos os termos
an=3^nn^2n!
são positivos. Logo, se a série converge, ela converge absolutamente. Basta então aplicar o teste da razão:

Passo 3

Calculemos
L = limntoinftyan+1an =limntoinfty 3^,n+1(n+1)^2/(n+1)!3^nn^2/n! =limntoinfty 3;(n+1)^2n^2;n!(n+1)! =limntoinfty 3;(n+1)^2n^2;1n+1
Simplificando:
(n+1)^2n^2(n+1) =n+1n^2 =1n+1n^2,
portanto
L = limntoinfty3l(1n+1n^2r) =0

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão assegura que a série converge. E, sendo todos os termos não negativos, a convergência é também absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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