Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento L com as extremidades fixas. Ela está inicialmente na posição de equilíbrio, ou seja, sem se mover, mas recebe uma velocidade inicial dada pela função g(x). Nosso objetivo é encontrar como a corda se comporta com o tempo usando o método de separação de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre as equações de onda e como aplicar a separação de variáveis para resolver problemas de vibração em cordas fixas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da onda para uma corda elástica:
Aqui, u(x,t) representa o deslocamento da corda no ponto x e no tempo t, e c é a velocidade da onda na corda.
Passo 3
Como as extremidades da corda estão fixas, temos as condições de contorno:
u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0 forall t
Essas condições indicam que nas pontas da corda (x=0 e x=L), o deslocamento é sempre zero.
Passo 4
Além disso, sabemos que inicialmente a corda está na posição de equilíbrio, então:
u(x, 0) = 0
Mas ela tem uma velocidade inicial dada por:
partial upartial t(x, 0) = g(x)
Com g(x) definido como:
g(x) = 1, & L2 - 1 < x < L2 + 1 (L > 2) 0, & caso contrário á
Passo 5
Vamos aplicar o método de separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de x e apenas de t:
u(x, t) = X(x)T(t)
Substituindo na equação da onda:
X(x)T''(t) = c^2 X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por c^2 X(x)T(t):
T''(t)c^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Onde -lambda é uma constante de separação.
Passo 6
Agora, temos duas equações separadas:
Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
Com as condições de contorno X(0) = X(L) = 0.
Para T(t):
T''(t) + c^2 lambda T(t) = 0
Passo 7
Resolvendo a equação para X(x) com as condições de contorno, as soluções não triviais ocorrem para valores específicos de lambda:
lambdan = ( npiL )^2 para n = 1, 2, 3, dots
E as funções próprias são:
Xn(x) = sin(npi xL)
Passo 8
Para cada lambdan, resolvemos a equação para T(t):
Tn''(t) + c^2 ( npiL )^2 Tn(t) = 0
A solução geral é:
Tn(t) = An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL)
Passo 9
Assim, a solução geral para u(x,t) é uma soma de todas as soluções possíveis:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL) ] sin(npi xL)
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes An e Bn.
Primeiro, como u(x,0) = 0:
sumn=1^infty An sin(npi xL) = 0
Isso implica que An = 0 para todos os n.
Passo 11
Agora, usamos a condição de velocidade inicial:
partial upartial t(x, 0) = g(x)
Derivando u(x,t) em relação ao tempo e avaliando em t=0:
sumn=1^infty npi cL Bn sin(npi xL) = g(x)
Isso nos dá uma série de Fourier para g(x):
g(x) = sumn=1^infty npi cL Bn sin(npi xL)
Passo 12
Para encontrar os coeficientes Bn, multiplicamos ambos os lados por sin(mpi xL) e integramos de 0 a L: