Determine se a sequência converge ou diverge e justifique sua afirmação. Se ela convergir, encontre o limite:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para cada sequência decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o limite. O conteúdo aqui é limites de sequências; vamos usar propriedades de crescimento de termos, fatoração/divisão para destacar o termo dominante e o teorema do confronto.
Passo 2
Para (a) observamos que
logo o termo geral é
.
Como e ainda há alternância de sinal, não existe um valor que a sequência aproxime nem tende uniformemente a
ou
. Portanto a sequência diverge.
Como
Passo 3
Para (b) analisamos
e dividimos numerador e denominador por
:
Como
e
, o quociente cresce sem limite e tende a
. Logo diverge (para
).
Passo 4
Para (c) fazemos a mesma divisão por
:
Como
, o limite vale
. Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 5
Para (d) usamos que
está sempre em
. Então
Como
, pelo teorema do confronto a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
(a) diverge.
(b) diverge (tende a ).
(c) converge, com limite .
(d) converge, com limite .
(b) diverge (tende a
(c) converge, com limite
(d) converge, com limite