Determine se a sequência converge ou diverge e justifique sua afirmação. Se ela convergir, encontre o limite:
(a) n cos n pi
(b) n1+raizn
(c) raizn1+raizn
(d) sen(2 n)1+raizn

Passo 1

O enunciado pede para cada sequência decidir se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o limite. O conteúdo aqui é limites de sequências; vamos usar propriedades de crescimento de termos, fatoração/divisão para destacar o termo dominante e o teorema do confronto.

Passo 2

Para (a) observamos que
cos(npi)=(-1)^n
logo o termo geral é
ncos(npi)=n(-1)^n.
Como lvert n(-1)^nrvert=ntoinfty e ainda há alternância de sinal, não existe um valor que a sequência aproxime nem tende uniformemente a +infty ou -infty. Portanto a sequência diverge.

Passo 3

Para (b) analisamos
n1+raizn
e dividimos numerador e denominador por raizn:
n1+raizn =raizn1raizn+1
Como raizntoinfty e tfrac1raiznto0, o quociente cresce sem limite e tende a +infty. Logo diverge (para +infty).

Passo 4

Para (c) fazemos a mesma divisão por raizn:
raizn1+raizn =11raizn+1
Como tfrac1raiznto0, o limite vale tfrac11=1. Portanto a sequência converge e seu limite é 1.

Passo 5

Para (d) usamos que sin(2n) está sempre em [-1,1]. Então
-,11+raizn<=sin(2n)1+raizn<=11+raizn
Como tfrac11+raiznto0, pelo teorema do confronto a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

(a) diverge.
(b) diverge (tende a +infty).
(c) converge, com limite 1.
(d) converge, com limite 0.

Exercícios relacionados