Resolva o problema
usando o método de
Alembert, para
(corda infinita)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação de onda com condições iniciais específicas. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de d’Alembert para resolver equações de onda em uma corda infinita. Precisamos saber sobre derivadas parciais e como aplicar as condições iniciais para encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada de
em relação ao espaço
. Essa é a clássica equação da onda.
Passo 3
As condições iniciais são dadas por:
Isso significa que, no tempo inicial
, a forma da onda é
e a sua velocidade inicial é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a solução de d’Alembert para a equação da onda. A fórmula geral é:
Isso quer dizer que a solução no tempo
depende das condições iniciais nas posições
e
, além de uma integral que envolve a derivada de
em relação ao tempo.
Passo 5
Vamos substituir as condições iniciais na fórmula:
Substituindo na solução de d’Alembert:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos simplificar usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, temos a solução da equação de onda:
Resposta
A solução da equação é: