Resolva o problema lut t=a^2 ux x u(x, 0)=sen x e ut(x, 0)=cos x usando o método de D^prime Alembert, para x in R (corda infinita)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação de onda com condições iniciais específicas. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de d’Alembert para resolver equações de onda em uma corda infinita. Precisamos saber sobre derivadas parciais e como aplicar as condições iniciais para encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = a^2 uxx
Aqui, utt é a segunda derivada de u em relação ao tempo t , e uxx é a segunda derivada de u em relação ao espaço x . Essa é a clássica equação da onda.

Passo 3

As condições iniciais são dadas por:
u(x, 0) = sin x e ut(x, 0) = cos x
Isso significa que, no tempo inicial t = 0 , a forma da onda é sin x e a sua velocidade inicial é cos x .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a solução de d’Alembert para a equação da onda. A fórmula geral é:
u(x, t) = 12 [ u(x - at, 0) + u(x + at, 0) ] + 12a integralx - at^x + at ut(xi, 0) , dxi
Isso quer dizer que a solução no tempo t depende das condições iniciais nas posições x - at e x + at , além de uma integral que envolve a derivada de u em relação ao tempo.

Passo 5

Vamos substituir as condições iniciais na fórmula:
u(x - at, 0) = sin(x - at)
u(x + at, 0) = sin(x + at)
ut(x, 0) = cos x
Substituindo na solução de d’Alembert:
u(x, t) = 12 [ sin(x - at) + sin(x + at) ] + 12a integralx - at^x + at cos xi , dxi

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integralx - at^x + at cos xi , dxi = sin(x + at) - sin(x - at)
Então, substituindo de volta:
u(x, t) = 12 [ sin(x - at) + sin(x + at) ] + 12a [ sin(x + at) - sin(x - at) ]

Passo 7

Agora, vamos simplificar usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)
sin A - sin B = 2 cos(A + B2) sin(A - B2)
Aplicando isso:
12 [sin(x - at) + sin(x + at)] = sin x cos(at)
12a [sin(x + at) - sin(x - at)] = 1a cos x sin(at)

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, temos a solução da equação de onda:
u(x, t) = sin x cos(at) + 1a cos x sin(at)

Resposta

A solução da equação é:
u(x, t) = sin x, cos(at) + 1a, cos x, sin(at)

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