Considere uma corda submetida a uma tensão tau=90 N, fixa em duas extremidades situadas em x=0 e x=L. Sabe-se que a corda oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária oriunda da interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
y1(x, t)=52 sen(pi2 x-6 pi t) e y2(x, t)=52 sen(pi2 x+6 pi t)
Nestas circunstâncias, calcule:
A massa da corda.
Dado: sen alpha+sen beta=2 sen[12(alpha+beta)] cos [12(alpha-beta)].

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que uma corda está presa em y1(x,t)=tfrac52sin!l(tfracpi2x-6pi tr), y2(x,t)=tfrac52sin!l(tfracpi2x+6pi tr) e , sob tensão ,N, e vibra no 4º harmônico de uma onda estacionária gerada pela soma de duas ondas progressivas
O conteúdo aqui é teoria de ondas: • como a soma de duas ondas iguais em sentidos opostos gera onda estacionária (usando a identidade de soma de senos), • relação entre o número de onda e comprimento de onda , • harmônicos de uma corda fixa nas duas pontas ( ), • velocidade de onda , • e a relação para achar a densidade linear e, por fim, a massa .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a onda estacionária somando sinalpha+sinbeta = 2sin!l(tfracalpha+beta2r)cos!l(tfracalpha-beta2r) e usar
y = y1 + y2 = tfrac52l[sinalpha+sinbetar] = tfrac52;2sin!l(tfracpi2xr)cos(6pi t) =5,sin!l(tfracpi2xr),cos(6pi t)
Aqui lambda = 2pik = 2pipi/2=4 m e L = n,lambda2 com n=4 Longrightarrow L=4cdot42=8 m , então
Dessa expressão vemos que o coeficiente de dentro do é , e o coeficiente de no é .
Como , temos
E, sendo 4º harmônico, vale

Passo 3

Agora a velocidade da onda é
v = omegak = 6pipi/2 = 12 m/s

Passo 4

A partir da relação entre tensão, densidade linear v = raiztaumu Longrightarrow mu = tauv^2 = 9012^2 = 90144 =0,625 kg/m e velocidade,

Passo 5

Por fim, a massa total da corda é
m = mu,L = 0,625cdot8 = 5 kg

Resposta

A massa da corda é ,kg.

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