Considere uma corda vibrante de comprimento
que satisfaz a equação da onda
. Suponha que as extremidades da corda estão fixas
e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial
da posição inicial. Encontre o deslocamento
da corda quando a condição de valor inicial é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda vibrante de comprimento
que segue a equação da onda:
As extremidades da corda estão fixas, ou seja,
, e a corda começa a vibrar sem velocidade inicial, então
. A posição inicial da corda é dada por uma função em partes. Nosso objetivo é encontrar o deslocamento
da corda ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos usar a separação de variáveis e séries de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais parciais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo isso na equação da onda:
Dividindo os dois lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Assim, temos duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para
:
Com as condições de contorno
. Essas são as condições para oscilações em uma corda fixa nas extremidades. As soluções não triviais ocorrem quando
assume certos valores específicos. Esses valores são chamados de autovalores.
Assumindo soluções do tipo senos:
Os autovalores correspondentes são:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para
:
Substituindo
:
As soluções dessa equação são combinações de cossenos e senos:
Passo 5
Assim, cada modo de vibração da corda é dado por:
A solução geral é a soma de todos esses modos:
Passo 6
Vamos agora aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes [A_n) e
.
A condição inicial para a posição da corda é:
E a condição inicial para a velocidade é:
Primeiro, vamos aplicar (t = 0] na solução geral:
Comparando com a condição inicial, vemos que
são os coeficientes de Fourier para a função
.
Como
, derivando a solução geral em relação a
:
Aplicando
:
Isso implica que todos os
.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
. Para isso, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para séries de senos:
Como
é uma função por partes, vamos dividir a integral em dois intervalos:
Passo 8
Calculando as integrais:
Primeiro, para
:
Usando integração por partes, onde
e
.
Depois, para
:
Também usando integração por partes com
e
.
Após resolver essas integrais, substituímos os limites de integração e somamos os resultados.
Passo 9
Após calcular as integrais, obtemos os valores de
. Substituindo
na solução geral, temos:
Resposta
O deslocamento da corda é dado por
onde os coeficientes
são obtidos pela série de Fourier da condição inicial
.