Considere uma corda vibrante de comprimento L=30 que satisfaz a equação da onda yt t=4 yx x, 0<x<30, t>0. Suponha que as extremidades da corda estão fixas (y(0, t)=y(30, t)=0) e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial (yt(x, 0)=0) da posição inicial. Encontre o deslocamento y(x, t) da corda quando a condição de valor inicial é
y(x, 0)=f(x)=ll x10 & se 0 <= x <= 10, t>0 30-x10 & se 10<x <= 20, t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda vibrante de comprimento L = 30 que segue a equação da onda:
ytt = 4 yxx, 0 < x < 30, t > 0
As extremidades da corda estão fixas, ou seja, y(0, t) = y(30, t) = 0 , e a corda começa a vibrar sem velocidade inicial, então yt(x, 0) = 0 . A posição inicial da corda é dada por uma função em partes. Nosso objetivo é encontrar o deslocamento y(x, t) da corda ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos usar a separação de variáveis e séries de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais parciais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t :
y(x, t) = X(x) T(t)
Substituindo isso na equação da onda:
X(x) T''(t) = 4 X''(x) T(t)
Dividindo os dois lados por X(x) T(t) :
T''(t)T(t) = 4 X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Assim, temos duas equações:
T''(t) + lambda T(t) = 0
X''(x) + lambda4 X(x) = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para X(x) :
X''(x) + lambda4 X(x) = 0
Com as condições de contorno X(0) = X(30) = 0 . Essas são as condições para oscilações em uma corda fixa nas extremidades. As soluções não triviais ocorrem quando lambda assume certos valores específicos. Esses valores são chamados de autovalores.
Assumindo soluções do tipo senos:
Xn(x) = sin(n pi x30), n = 1, 2, 3, dots
Os autovalores correspondentes são:
lambdan = (n pi30)^2 times 4 = 4 n^2 pi^2900 = n^2 pi^2225

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para T(t) :
T''(t) + lambdan T(t) = 0
Substituindo lambdan :
T''(t) + n^2 pi^2225 T(t) = 0
As soluções dessa equação são combinações de cossenos e senos:
Tn(t) = An cos(n pi t15) + Bn sin(n pi t15)

Passo 5

Assim, cada modo de vibração da corda é dado por:
yn(x, t) = [An cos(n pi t15) + Bn sin(n pi t15)] sin(n pi x30)
A solução geral é a soma de todos esses modos:
y(x, t) = sumn=1^infty [An cos(n pi t15) + Bn sin(n pi t15)] sin(n pi x30)

Passo 6

Vamos agora aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes [A_n) e .
A condição inicial para a posição da corda é:
E a condição inicial para a velocidade é:
Primeiro, vamos aplicar (t = 0] na solução geral:
Comparando com a condição inicial, vemos que são os coeficientes de Fourier para a função .
Como , derivando a solução geral em relação a :
Aplicando :
Isso implica que todos os .

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os coeficientes An . Para isso, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para séries de senos:
An = 230 integral0^30 f(x) sin(n pi x30) dx = 115 integral0^30 f(x) sin(n pi x30) dx
Como f(x) é uma função por partes, vamos dividir a integral em dois intervalos:
An = 115 [ integral0^10 x10 sin(n pi x30) dx + integral10^20 30 - x10 sin(n pi x30) dx ]

Passo 8

Calculando as integrais:
Primeiro, para 0 <= x <= 10 :
integral x10 sin(n pi x30) dx
Usando integração por partes, onde u = x e dv = sin(n pi x30) dx .
Depois, para 10 < x <= 20 :
integral 30 - x10 sin(n pi x30) dx
Também usando integração por partes com u = 30 - x e dv = sin(n pi x30) dx .
Após resolver essas integrais, substituímos os limites de integração e somamos os resultados.

Passo 9

Após calcular as integrais, obtemos os valores de An . Substituindo An na solução geral, temos:
y(x, t) = sumn=1^infty An cos(n pi t15) sin(n pi x30)

Resposta

O deslocamento da corda é dado por
y(x, t) = sumn=1^infty An cos(n pi t15) sin(n pi x30),
onde os coeficientes An são obtidos pela série de Fourier da condição inicial f(x) .

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