Resolva o problema de valor inicial (use Transformada de Laplace) ( 2,0 pontos) y^prime prime-y^prime-6 y=0 , y(0)=2 , y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais
y''-y'-6y=0, y(0)=2, y'(0)=-1
usando Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'(s)=sY(s)-y(0) e
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=Ly(t)(s).

Passo 2

Aplicando L na equação diferencial, obtemos
Ly''(s)-Ly'(s)-6Ly(s)=0
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l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r);-;l(sY(s)-y(0)r);-;6Y(s)=0

Passo 3

Substituindo y(0)=2 e y'(0)=-1 na expressão acima:
l(s^2Y(s)-2s+1r)-l(sY(s)-2r)-6Y(s)=0
(s^2-s-6),Y(s)+(-2s+1+2)=0
(s^2-s-6),Y(s)=2s-3
Y(s)=2s-3s^2-s-6

Passo 4

Fatorando o denominador s^2-s-6=(s-3)(s+2), fazemos frações parciais:
2s-3(s-3)(s+2) =As-3+Bs+2
de onde
2s-3=A(s+2)+B(s-3)=(A+B)s+(2A-3B)
Igualando coeficientes:
A+B=2, 2A-3B=-3 longrightarrow A=35,;B=75
Assim
Y(s)=3/5s-3+7/5s+2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
y(t) =35e^3t+75e^-2t

Resposta

y(t)=35e^3t+75e^-2t

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