Resolva por séries. ( 2,0 pontos)
y^prime prime(t)+t y^prime(t)+y(t)=0 , y(0)=y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via séries em torno de t=0, a EDO de segunda ordem
y''(t)+t,y'(t)+y(t)=0
com condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=1
O conteúdo aqui é método de séries de potências: supomos
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n,
calculamos y' e y'', substituímos na EDO, igualamos coeficientes de t^n a zero e achamos a recorrência entre os an.

Passo 2

Supondo
y(t)=sumn=0^infty an,t^n, y'(t)=sumn=1^infty n,an,t^n-1, y''(t)=sumn=2^infty n(n-1),an,t^n-2,
reescrevemos em potências de t^n:
y''=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n, t,y'=sumn=0^infty n,an,t^n, y=sumn=0^infty an,t^n
Somando e exigindo que o coeficiente de t^n seja zero dá
(n+2)(n+1),an+2+n,an +an=0 ;Longrightarrow; (n+2)(n+1),an+2+(n+1),an=0 ;Longrightarrow; an+2=-an,n+2,

Passo 3

Das condições iniciais vem
a0=y(0)=1, a1=y'(0)=1
A recorrência separa pares e ímpares:
— Para índices pares n=2k:
a2(k+1)=-a2k2k+2 ;Longrightarrow; a2k=(-1)^k2^k,k!
— Para índices ímpares n=2k+1:
a2(k+1)+1=-a2k+12k+3 ;Longrightarrow; a2k+1=(-1)^k1cdot3cdot5cdots(2k+1)=(-1)^k(2k+1)!!

Passo 4

Reunindo os termos pares e ímpares, a solução em série é
y(t) =sumk=0^infty a2k,t^2k +sumk=0^infty a2k+1,t^2k+1 =sumk=0^infty(-1)^k2^k,k!,t^2k +sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!!,t^2k+1

Resposta

boxed y(t) =sumk=0^infty(-1)^k2^k,k!,t^2k +sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!!,t^2k+1

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