Resolva por séries. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via séries em torno de
, a EDO de segunda ordem
com condições iniciais
O conteúdo aqui é método de séries de potências: supomos
calculamos
e
, substituímos na EDO, igualamos coeficientes de
a zero e achamos a recorrência entre os
.
Passo 2
Supondo
reescrevemos em potências de
:
Somando e exigindo que o coeficiente de
seja zero dá
Passo 3
Das condições iniciais vem
A recorrência separa pares e ímpares:
— Para índices pares
:
— Para índices ímpares
:
Passo 4
Reunindo os termos pares e ímpares, a solução em série é