A série de Maclaurin para a função sen (x) é dada por:
sen(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+ldots
Ache a série de Maclaurin para a função coseno (x).
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Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de cos(x). Para isso vamos usar a definição geral de série de Maclaurin, que é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!x^n,
e calcular as derivadas de cos(x) em x=0.

Passo 2

As derivadas de cos(x) formam um ciclo de período 4:
f(x)=cos(x), f'(x)=-sin(x), f''(x)=-cos(x), f'''(x)=sin(x), f^(4)(x)=cos(x),;dots
Avaliar em x=0
f^(4k)(0)=1, f^(4k+1)(0)=0, f^(4k+2)(0)=-1, f^(4k+3)(0)=0

Passo 3

Na fórmula de Maclaurin só aparecem os termos com derivadas pares, isto é, n=2k. Como f^(2k)(0)=(-1)^k, temos
cos(x)=sumk=0^infty(-1)^k(2k)!x^2k

Passo 4

Se expandirmos os primeiros termos, fica
cos(x)=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots

Resposta

cos(x)=sumk=0^infty(-1)^k(2k)!x^2k =1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots

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