Considere o corpo Z11.
Determine os inversos dos elementos não nulos.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício que envolve o corpo Z11. O que precisamos fazer aqui é descobrir os inversos de todos os elementos que não são zero nesse conjunto. Isso faz parte da matéria de álgebra, mais especificamente de aritmética modular. Para resolver, vamos precisar entender o que é um inverso multiplicativo e como encontrá-lo dentro desse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é Z11. Esse é o conjunto dos inteiros de 0 a 10, onde a operação de adição e multiplicação são feitas “com resto”, ou seja, depois de cada operação, a gente divide por 11 e fica com o resto. Por exemplo, 7 + 5 em Z11 é 12, mas como 12 dividido por 11 dá resto 1, então 7 + 5 = 1 em Z11.

Passo 3

Agora, sobre o inverso multiplicativo. Para um número a em Z11, o inverso multiplicativo é um número b tal que quando multiplicamos a por b, o resultado é 1 dentro de Z11. Ou seja, a cdot b equiv 1 pmod11. Nosso objetivo é encontrar esse b para cada a diferente de 0.

Passo 4

Como fazer isso na prática? Para cada número de 1 a 10, vamos procurar outro número nesse mesmo conjunto que multiplicado por ele dê 1 quando dividimos por 11. Como estamos lidando com números pequenos, podemos fazer isso testando as multiplicações até encontrar a combinação certa. Vamos fazer isso passo a passo para cada elemento.

Passo 5

Vamos começar a encontrar os inversos:
  • Inverso de 1:
1 times 1 = 1 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 1 é 1.
  • Inverso de 2:
    Procuramos um número b tal que 2 times b equiv 1 pmod11.
    Testando:
2 times 6 = 12 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 2 é 6.
  • Inverso de 3:
3 times 4 = 12 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 3 é 4.
  • Inverso de 4:
4 times 3 = 12 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 4 é 3.
  • Inverso de 5:
5 times 9 = 45 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 5 é 9.
  • Inverso de 6:
6 times 2 = 12 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 6 é 2.
  • Inverso de 7:
7 times 8 = 56 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 7 é 8.
  • Inverso de 8:
8 times 7 = 56 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 8 é 7.
  • Inverso de 9:
9 times 5 = 45 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 9 é 5.
  • Inverso de 10:
10 times 10 = 100 equiv 1 pmod11
Então, o inverso de 10 é 10.

Resposta

Os inversos dos elementos não nulos em Z11 são:
1^-1 &= 1 2^-1 &= 6 3^-1 &= 4 4^-1 &= 3 5^-1 &= 9 6^-1 &= 2 7^-1 &= 8 8^-1 &= 7 9^-1 &= 5 10^-1 &= 10

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