Considere o corpo
.
Determine os inversos dos elementos não nulos.
Determine os inversos dos elementos não nulos.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício que envolve o corpo
. O que precisamos fazer aqui é descobrir os inversos de todos os elementos que não são zero nesse conjunto. Isso faz parte da matéria de álgebra, mais especificamente de aritmética modular. Para resolver, vamos precisar entender o que é um inverso multiplicativo e como encontrá-lo dentro desse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é
. Esse é o conjunto dos inteiros de
a
, onde a operação de adição e multiplicação são feitas “com resto”, ou seja, depois de cada operação, a gente divide por
e fica com o resto. Por exemplo,
em
é
, mas como
dividido por
dá resto
, então
em
.
Passo 3
Agora, sobre o inverso multiplicativo. Para um número
em
, o inverso multiplicativo é um número
tal que quando multiplicamos
por
, o resultado é
dentro de
. Ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar esse
para cada
diferente de
.
Passo 4
Como fazer isso na prática? Para cada número de
a
, vamos procurar outro número nesse mesmo conjunto que multiplicado por ele dê
quando dividimos por
. Como estamos lidando com números pequenos, podemos fazer isso testando as multiplicações até encontrar a combinação certa. Vamos fazer isso passo a passo para cada elemento.
Passo 5
Vamos começar a encontrar os inversos:
- Inverso de 1:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 2:
Procuramos um númerotal que .
Testando:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 3:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 4:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 5:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 6:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 7:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 8:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 9:
Então, o inverso de
é
.
- Inverso de 10:
Então, o inverso de
é
.
Resposta
Os inversos dos elementos não nulos em
são: