O que se pode concluir sobre o conjunto solução do SEL: x-y+z=a ; x+y-z=b ; x+y+z=c

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos um sistema de equações lineares (SEL) com três equações e três incógnitas:
x - y + z = a x + y - z = b x + y + z = c
O conteúdo aqui envolve sistemas lineares e determinantes. Para resolver esse tipo de sistema e entender o conjunto solução, vamos precisar verificar se as equações são independentes e se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma de matriz para facilitar a análise. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 1 & 1 & 1
E o vetor dos termos constantes é:
b = a b c

Passo 3

Para determinar se o sistema tem uma solução única, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes A . Se o determinante for diferente de zero, o sistema terá uma solução única.
O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado assim:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 times (1 times 1 - (-1) times 1) - (-1) times (1 times 1 - (-1) times 1) + 1 times (1 times 1 - 1 times 1)
Vamos calcular passo a passo:
  1. 1 times (1 times 1 - (-1) times 1) = 1 times (1 + 1) = 2
  2. -(-1) times (1 times 1 - (-1) times 1) = 1 times (1 + 1) = 2
  3. 1 times (1 times 1 - 1 times 1) = 1 times (1 - 1) = 0
Somando todos:
det(A) = 2 + 2 + 0 = 4

Passo 4

Como o determinante det(A) = 4 é diferente de zero, isso significa que a matriz A é inversível e, portanto, o sistema de equações tem uma solução única para quaisquer valores de a , b e c .

Resposta

O sistema possui uma única solução para quaisquer valores de a , b e c , ou seja, o conjunto solução é um ponto específico no espaço.

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