Verifique se S é subcorpo de K.
S=a+b i ; a, b in Q e i=raiz-1 e K=(R,+, cdot).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto S = a + b i ;|; a, b in Q e i = raiz-1 é um subcorpo de K = (R, +, cdot) . Aqui, estamos lidando com álgebra, especificamente com corpos e subcorpos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um corpo, o que é um subcorpo e verificar se S satisfaz todas as propriedades necessárias dentro do corpo K .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero), e que essas operações seguem certas regras (como comutatividade e associatividade). Por exemplo, os números racionais Q e os números reais R são corpos.
Um subcorpo é um subconjunto de um corpo que também é um corpo com as mesmas operações. Ou seja, precisa conter o elemento neutro da adição e da multiplicação, ser fechado sob adição, subtração, multiplicação e divisão.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto S . Ele é formado por números da forma a + b i , onde a e b são racionais, e i = raiz-1 . Esses são conhecidos como números complexos com parte real e imaginária racionais.
Por outro lado, K = (R, +, cdot) é o conjunto dos números reais com as operações de adição e multiplicação.

Passo 4

Para S ser um subcorpo de K , primeiro S precisa ser um subconjunto de K . Vamos verificar isso. Os elementos de S têm a forma a + b i , onde i = raiz-1 . No entanto, K é composto apenas por números reais, que não incluem a unidade imaginária i .
Isso significa que, a menos que b = 0 , os elementos de S não estarão em K , já que incluiriam a parte imaginária b i , que não é real.

Passo 5

Além disso, mesmo que considerássemos S como um subconjunto de C (os números complexos), ele ainda não seria um subcorpo de R , porque i não está em R . Para ser um subcorpo, todo elemento de S precisa também estar em K .

Passo 6

Portanto, como S inclui elementos que não estão em K (a menos que b = 0 , mas isso limitaria S a apenas números racionais, não cumprindo todo o conjunto S ), S não é um subcorpo de K .

Resposta

Não, S não é um subcorpo de K .

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