Verifique se
é subcorpo de
.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subcorpo de
. Aqui, estamos lidando com álgebra, especificamente com corpos e subcorpos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um corpo, o que é um subcorpo e verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias dentro do corpo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero), e que essas operações seguem certas regras (como comutatividade e associatividade). Por exemplo, os números racionais
e os números reais
são corpos.
Um subcorpo é um subconjunto de um corpo que também é um corpo com as mesmas operações. Ou seja, precisa conter o elemento neutro da adição e da multiplicação, ser fechado sob adição, subtração, multiplicação e divisão.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Ele é formado por números da forma
, onde
e
são racionais, e
. Esses são conhecidos como números complexos com parte real e imaginária racionais.
Por outro lado,
é o conjunto dos números reais com as operações de adição e multiplicação.
Passo 4
Para
ser um subcorpo de
, primeiro
precisa ser um subconjunto de
. Vamos verificar isso. Os elementos de
têm a forma
, onde
. No entanto,
é composto apenas por números reais, que não incluem a unidade imaginária
.
Isso significa que, a menos que
, os elementos de
não estarão em
, já que incluiriam a parte imaginária
, que não é real.
Passo 5
Além disso, mesmo que considerássemos
como um subconjunto de
(os números complexos), ele ainda não seria um subcorpo de
, porque
não está em
. Para ser um subcorpo, todo elemento de
precisa também estar em
.
Passo 6
Portanto, como
inclui elementos que não estão em
(a menos que
, mas isso limitaria
a apenas números racionais, não cumprindo todo o conjunto
),
não é um subcorpo de
.
Resposta
Não,
não é um subcorpo de
.