Verifique que S=(1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1)) é base do R^3 testando as 2 condições da definição.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o conjunto S = (1,1,1), (-1,1,1), (1,-1,1) é uma base do R^3 . Para isso, precisamos entender o que é uma base. Uma base de R^3 deve satisfazer duas condições:
  1. Linearmente independente: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
  2. Gerar o espaço: Qualquer vetor no R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
    Vamos checar essas duas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação [a(1,1,1) + b(-1,1,1) + c(1,-1,1) = (0,0,0)) é .
Vamos montar as equações:
Agora, resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na terceira equação:
  4. Assim, e, portanto,
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores geram o espaço [\mathbb{R}^3). Isso significa que qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação linear de :
Vamos montar as equações:
Resolvendo o sistema:
  1. Somando a primeira e a segunda equação:
  2. Subtraindo a segunda da terceira equação:
  3. Substituindo e na primeira equação:
Portanto, encontramos valores para , e que funcionam para qualquer , o que significa que os vetores de geram todo o .

Resposta

Como S satisfaz as duas condições de ser uma base (linearmente independente e que gera R^3 ), concluímos que S = (1,1,1), (-1,1,1), (1,-1,1) é de fato uma base de R^3 .

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