Verifique que é base do testando as 2 condições da definição.
Passo 1
Beleza, vamos verificar se o conjunto é uma base do . Para isso, precisamos entender o que é uma base. Uma base de deve satisfazer duas condições:
Linearmente independente: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
Gerar o espaço: Qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Vamos checar essas duas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação [a(1,1,1) + b(-1,1,1) + c(1,-1,1) = (0,0,0)) é .
Vamos montar as equações:
Agora, resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação: → →
Substituindo na terceira equação: →
Assim, e, portanto,
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores geram o espaço [\mathbb{R}^3). Isso significa que qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação linear de :
Vamos montar as equações:
Resolvendo o sistema:
Somando a primeira e a segunda equação:
Subtraindo a segunda da terceira equação: →
Substituindo e na primeira equação:
Portanto, encontramos valores para , e que funcionam para qualquer , o que significa que os vetores de geram todo o .
Resposta
Como S satisfaz as duas condições de ser uma base (linearmente independente e que gera R^3 ), concluímos que S = (1,1,1), (-1,1,1), (1,-1,1) é de fato uma base de R^3 .