Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Mostre que a resultante das forças (vetorial) que atuam sobre esta superfície
pode ser escrita como:
onde
é a força que atua sobre cada parcela infinitesimal da área de
.
Mostre que a resultante das forças (vetorial) que atuam sobre esta superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um corpo com uma forma qualquer, e a superfície externa desse corpo é chamada de
com área
. O volume do corpo é
. A questão quer que a gente mostre que a força total que age sobre toda essa superfície
, que a gente chama de
, pode ser escrita como a integral das forças infinitesimais
sobre toda a superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, integração sobre superfícies e como forças se distribuem em uma área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma força é um vetor, ou seja, tem magnitude e direção. Quando temos uma superfície
, podemos imaginar que há pequenas forças agindo em cada pedacinho dessa superfície. Essas pequenas forças são representadas por
, onde o “d” indica que são infinitesimais, ou seja, muito pequenas.
Passo 3
Para encontrar a força total
que age na superfície inteira, precisamos somar todas essas pequenas forças
. Em matemática, somar um número infinito de pequenas quantidades é feito através de uma integral. Então, a força total é a integral de todas as forças infinitesimais ao longo da superfície
.
Passo 4
Escrevendo isso matematicamente, temos:
Aqui, o símbolo
representa a integral, e estamos integrando sobre toda a superfície
. Isso significa que estamos somando todas as forças pequenas
que atuam em cada pedacinho da superfície.
Resposta
Portanto, demonstramos que a resultante das forças que atuam sobre a superfície
é dada por: