Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
Considere agora que a superfície do corpo é submetida a um campo de pressão dado por p(x, y, z). Como a pressão sempre atua no sentido de comprimir a superfície na direção normal, verifique que a força resultante fs pode ser escrita na forma:
fs=-integralS p n d A
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é chamada de S e tem uma área A. O volume desse corpo é V. Agora, imagine que essa superfície S está sendo submetida a um campo de pressão p(x, y, z). A pressão sempre empurra para dentro do corpo, na direção normal à superfície. O objetivo é mostrar que a força resultante fs pode ser expressa pela integral:
fs = -integralS p n , d A
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força, pressão, vetores normais e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pressão é definida como força por unidade de área. Então, se temos uma pressão p atuando em uma pequena área dA, a força df resultante dessa pressão nessa área é:
df = p n , dA
Aqui, n é o vetor unitário normal à superfície, apontando para fora do corpo. Como a pressão empurra para dentro, a força real é na direção oposta, por isso teremos um sinal negativo na força total mais adiante.

Passo 3

Para encontrar a força total fs exercida pela pressão sobre toda a superfície S, precisamos somar (integrar) todas as pequenas forças df em cada ponto da superfície. Isso é feito através da integral de superfície:
fs = integralS df
Substituindo a expressão de df que encontramos no passo anterior:
fs = integralS p n , dA

Passo 4

Lembrando que a pressão atua para comprimir o corpo, ou seja, a força resultante está na direção oposta ao vetor normal n. Portanto, a força total fs será negativa em relação à expressão que encontramos:
fs = -integralS p n , dA

Resposta

A força resultante fs exercida pela pressão sobre a superfície S é dada por:
fs = -integralS p n , dA

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