Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Considere agora que a superfície do corpo é submetida a um campo de pressão dado por
. Como a pressão sempre atua no sentido de comprimir a superfície na direção normal, verifique que a força resultante
pode ser escrita na forma:
onde
é o vetor normal à superfície.
Considere agora que a superfície do corpo é submetida a um campo de pressão dado por
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é chamada de
e tem uma área
. O volume desse corpo é
. Agora, imagine que essa superfície
está sendo submetida a um campo de pressão
. A pressão sempre empurra para dentro do corpo, na direção normal à superfície. O objetivo é mostrar que a força resultante
pode ser expressa pela integral:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de força, pressão, vetores normais e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pressão é definida como força por unidade de área. Então, se temos uma pressão
atuando em uma pequena área
, a força
resultante dessa pressão nessa área é:
Aqui,
é o vetor unitário normal à superfície, apontando para fora do corpo. Como a pressão empurra para dentro, a força real é na direção oposta, por isso teremos um sinal negativo na força total mais adiante.
Passo 3
Para encontrar a força total
exercida pela pressão sobre toda a superfície
, precisamos somar (integrar) todas as pequenas forças
em cada ponto da superfície. Isso é feito através da integral de superfície:
Substituindo a expressão de
que encontramos no passo anterior:
Passo 4
Lembrando que a pressão atua para comprimir o corpo, ou seja, a força resultante está na direção oposta ao vetor normal
. Portanto, a força total
será negativa em relação à expressão que encontramos:
Resposta
A força resultante
exercida pela pressão sobre a superfície
é dada por: