Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
O momento (ou torque) infinitesimal
, gerado por uma força infinitesimal
qualquer, em relação a uma posição
, pode ser escrito como:
onde
é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação à
(ou seja, o vetor que vai de
para o ponto em que a força é aplicada). Verifique que os momentos resultantes associados às forças resultantes
e
, são dados, respectivamente. por:
onde vale lembrar que
varia com a posição na superfície
ou no volume
.
O momento (ou torque) infinitesimal
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo com uma geometria qualquer, cuja superfície externa é chamada de
e tem uma área
. O volume desse corpo é
. A pergunta quer que a gente verifique como calcular os momentos resultantes das forças
(que atuam na superfície) e
(que atuam no volume) em relação a um ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de torque (ou momento) e integrais sobre a superfície e o volume. Vamos precisar entender o que é o momento de uma força e como somar contribuições infinitesimais para obter o momento total.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de uma força. O momento
de uma força
em relação a um ponto
é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição
(que vai de
até o ponto onde a força é aplicada) e a força
:
No caso da questão, estamos lidando com forças infinitesimais
, então o momento infinitesimal é:
Passo 3
Agora, para encontrar o momento total resultante das forças na superfície
, precisamos somar (integrar) todos esses momentos infinitesimais ao longo da superfície. Isso é representado pela integral de superfície:
Da mesma forma, para as forças que atuam no volume
, o momento total resultante é a integral de volume:
Passo 4
Para verificar essas expressões, vamos pensar no que cada integral representa. A integral de superfície
está somando todas as contribuições de momento das forças que atuam na superfície do corpo. Cada termo
representa o momento de uma força infinitesimal na superfície.
Da mesma forma, a integral de volume
está somando todas as contribuições de momento das forças que atuam no interior do corpo, distribuídas por todo o volume.
Passo 5
Então, ao integrar
sobre a superfície
, estamos efetivamente acumulando todos os momentos das forças que estão na superfície, resultando em
. O mesmo acontece com as forças no volume, onde a integração sobre
nos dá
.
Resposta
Concluímos que os momentos resultantes associados às forças resultantes
e
são, de fato, dados por: