Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
O momento (ou torque) infinitesimal d M, gerado por uma força infinitesimal d f qualquer, em relação a uma posição O, pode ser escrito como:
d M=r times d f
onde r é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação à O (ou seja, o vetor que vai de O para o ponto em que a força é aplicada). Verifique que os momentos resultantes associados às forças resultantes fs e fv, são dados, respectivamente. por:
Ms & =integralS d Ms=integralS r times d fs Mv & =integralV d Mv=integralV r times d fv
onde vale lembrar que r varia com a posição na superfície S ou no volume V.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo com uma geometria qualquer, cuja superfície externa é chamada de S e tem uma área A. O volume desse corpo é V. A pergunta quer que a gente verifique como calcular os momentos resultantes das forças fs (que atuam na superfície) e fv (que atuam no volume) em relação a um ponto O. Para isso, vamos usar o conceito de torque (ou momento) e integrais sobre a superfície e o volume. Vamos precisar entender o que é o momento de uma força e como somar contribuições infinitesimais para obter o momento total.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de uma força. O momento M de uma força f em relação a um ponto O é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r (que vai de O até o ponto onde a força é aplicada) e a força f:
M = r times f
No caso da questão, estamos lidando com forças infinitesimais d f, então o momento infinitesimal é:
d M = r times d f

Passo 3

Agora, para encontrar o momento total resultante das forças na superfície S, precisamos somar (integrar) todos esses momentos infinitesimais ao longo da superfície. Isso é representado pela integral de superfície:
Ms = integralS d Ms = integralS r times d fs
Da mesma forma, para as forças que atuam no volume V, o momento total resultante é a integral de volume:
Mv = integralV d Mv = integralV r times d fv

Passo 4

Para verificar essas expressões, vamos pensar no que cada integral representa. A integral de superfície integralS está somando todas as contribuições de momento das forças que atuam na superfície do corpo. Cada termo r times d fs representa o momento de uma força infinitesimal na superfície.
Da mesma forma, a integral de volume integralV está somando todas as contribuições de momento das forças que atuam no interior do corpo, distribuídas por todo o volume.

Passo 5

Então, ao integrar r times d fs sobre a superfície S, estamos efetivamente acumulando todos os momentos das forças que estão na superfície, resultando em Ms. O mesmo acontece com as forças no volume, onde a integração sobre V nos dá Mv.

Resposta

Concluímos que os momentos resultantes associados às forças resultantes fs e fv são, de fato, dados por:
Ms & =integralS r times d fs Mv & =integralV r times d fv

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