Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
Verifique, de maneira justificada, que a equação anterior pode ser escrita na forma diferencial (utilize o teorema de Gauss), para qualquer ponto no fluido, na forma:
-nabla p+rho g=0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Temos um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é representada por S com área A, e o volume interno é V. Queremos mostrar, de forma justificada, que uma determinada equação (provavelmente relacionada ao equilíbrio de forças no corpo) pode ser expressa na forma diferencial usando o teorema de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema de Gauss e como passar da forma integral para a forma diferencial de uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema de Gauss. Ele estabelece que a integral de uma divergência de um campo vetorial F sobre um volume V é igual à integral do fluxo desse campo através da superfície que delimita o volume S:
integralV nabla cdot F , dV = ointS F cdot n , dA
Aqui, n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Agora, consideremos que estamos lidando com equilíbrio estático em um fluido ou sólido, onde as forças internas (como a pressão) e as forças externas (como a gravidade) estão balanceadas. A equação integral de equilíbrio pode ser escrita como:
ointS p n , dA = integralV rho g , dV
Aqui, p é a pressão, rho é a densidade do fluido, e g é a aceleração devido à gravidade.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Gauss à integral de pressão, temos:
ointS p n , dA = integralV nabla p , dV
Substituindo essa relação na equação de equilíbrio, obtemos:
integralV nabla p , dV = integralV rho g , dV

Passo 5

Como as integrais são iguais para qualquer volume V arbitrário, podemos igualar as funções dentro das integrais:
nabla p = rho g
Para deixar a equação no formato solicitado, basta rearranjar os termos:
-nabla p + rho g = 0

Resposta

Portanto, utilizando o Teorema de Gauss, demonstramos que a equação de equilíbrio pode ser expressa na forma diferencial:
-nabla p + rho g = 0

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