Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Verifique, de maneira justificada, que a equação anterior pode ser escrita na forma diferencial (utilize o teorema de Gauss), para qualquer ponto no fluido, na forma:
Verifique, de maneira justificada, que a equação anterior pode ser escrita na forma diferencial (utilize o teorema de Gauss), para qualquer ponto no fluido, na forma:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Temos um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é representada por
com área
, e o volume interno é
. Queremos mostrar, de forma justificada, que uma determinada equação (provavelmente relacionada ao equilíbrio de forças no corpo) pode ser expressa na forma diferencial usando o teorema de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema de Gauss e como passar da forma integral para a forma diferencial de uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Teorema de Gauss. Ele estabelece que a integral de uma divergência de um campo vetorial
sobre um volume
é igual à integral do fluxo desse campo através da superfície que delimita o volume
:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Agora, consideremos que estamos lidando com equilíbrio estático em um fluido ou sólido, onde as forças internas (como a pressão) e as forças externas (como a gravidade) estão balanceadas. A equação integral de equilíbrio pode ser escrita como:
Aqui,
é a pressão,
é a densidade do fluido, e
é a aceleração devido à gravidade.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Gauss à integral de pressão, temos:
Substituindo essa relação na equação de equilíbrio, obtemos:
Passo 5
Como as integrais são iguais para qualquer volume
arbitrário, podemos igualar as funções dentro das integrais:
Para deixar a equação no formato solicitado, basta rearranjar os termos:
Resposta
Portanto, utilizando o Teorema de Gauss, demonstramos que a equação de equilíbrio pode ser expressa na forma diferencial: