Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Mostre que a resultante das forças (vetorial) que atuam sobre o volume interno (
) pode ser escrita como:
onde
é a força que atua sobre cada parcela infinitesimal do volume
.
Mostre que a resultante das forças (vetorial) que atuam sobre o volume interno (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo qualquer com uma superfície externa
e volume
. Queremos mostrar que a força total que age sobre o volume interno, chamada de
, pode ser expressa como a integral das forças infinitesimais
em todo o volume
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, integrais em volumes e como somar forças em diferentes partes do corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma força é representada por um vetor, ou seja, tem direção e magnitude. Quando temos muitas forças agindo em diferentes partes de um objeto, a força total é a soma vetorial de todas elas.
Passo 3
No caso de um volume
com infinitas pequenas parcelas, cada parcela tem uma força muito pequena agindo sobre ela, chamada de
. Para encontrar a força total
, precisamos somar todas essas pequenas forças.
Passo 4
Matematicamente, essa soma contínua de forças é representada por uma integral. A integral de
sobre o volume
significa que estamos somando todas as forças infinitesimais em todo o volume.
Passo 5
Então, temos que:
Isso mostra que a força total é realmente a soma vetorial de todas as forças infinitesimais dentro do volume.
Resposta
A força total que atua sobre o volume interno é dada por: