Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
O centro de gravidade de um corpo pode ser calculado pela posição onde a força peso resultante deve ser aplicada de modo a gerar o mesmo momento. Supondo que a força peso em cada ponto e sua resultante são obtidas de
e
isto equivale a:
onde
é a posição do centro de gravidade em relação ao ponto
. O centro de massa se um corpo é definido como a média ponderada de todas as posições do corpo
Mostre que, para um corpo onde a massa específica é uniforme (
não depende da posição), que
.
O centro de gravidade de um corpo pode ser calculado pela posição onde a força peso resultante deve ser aplicada de modo a gerar o mesmo momento. Supondo que a força peso em cada ponto e sua resultante são obtidas de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, quando a densidade de massa de um corpo é uniforme (ou seja,
é constante em todo o corpo), o centro de gravidade (
) é igual ao centro de massa (
). Vamos usar conceitos de centros de massa e gravidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são o centro de gravidade e o centro de massa.
-
Centro de Massa (
): É o ponto onde a massa total do corpo pode ser considerada concentrada. É calculado pela média ponderada das posições de todas as partículas que compõem o corpo. -
Centro de Gravidade (
): É o ponto onde a força peso resultante pode ser aplicada sem alterar o momento total. A equação dada no enunciado relaciona o centro de gravidade com a força peso distribuída no volume do corpo.
Passo 3
Vamos analisar a densidade de massa uniforme. Isso significa que a densidade
é constante em todo o volume do corpo, ou seja,
.
Com isso, podemos relacionar a força peso diferencial
com a massa diferencial
:
Onde
é a aceleração da gravidade e
é o elemento de volume. Como
é constante:
Onde
é a massa total do corpo.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação do centro de gravidade:
Passo 5
Se rearranjarmos a equação, temos:
Sabemos que
, então substituindo:
Como
, a equação fica:
Simplificando ambos os lados por
:
Passo 6
Observamos que a última expressão é exatamente a definição do centro de massa:
Portanto, mostramos que:
Resposta
Para um corpo com densidade uniforme, o centro de gravidade é igual ao centro de massa, ou seja,
.