Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
O centro de gravidade de um corpo pode ser calculado pela posição onde a força peso resultante deve ser aplicada de modo a gerar o mesmo momento. Supondo que a força peso em cada ponto e sua resultante são obtidas de d fv e fv isto equivale a:
rc g times fv=integralV r times d fv
onde rc g é a posição do centro de gravidade em relação ao ponto O. O centro de massa se um corpo é definido como a média ponderada de todas as posições do corpo
rc m=1m integralV r d m
Mostre que, para um corpo onde a massa específica é uniforme ( rho não depende da posição), que rc g=rc m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, quando a densidade de massa de um corpo é uniforme (ou seja, rho é constante em todo o corpo), o centro de gravidade ( rcg) é igual ao centro de massa ( rcm). Vamos usar conceitos de centros de massa e gravidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são o centro de gravidade e o centro de massa.
  • Centro de Massa ( rcm): É o ponto onde a massa total do corpo pode ser considerada concentrada. É calculado pela média ponderada das posições de todas as partículas que compõem o corpo.
    rcm = 1m integralV r , dm
  • Centro de Gravidade ( rcg): É o ponto onde a força peso resultante pode ser aplicada sem alterar o momento total. A equação dada no enunciado relaciona o centro de gravidade com a força peso distribuída no volume do corpo.
    rcg times fv = integralV r times dfv

Passo 3

Vamos analisar a densidade de massa uniforme. Isso significa que a densidade rho é constante em todo o volume do corpo, ou seja, rho(r) = rho.
Com isso, podemos relacionar a força peso diferencial dfv com a massa diferencial dm:
dfv = rho g , dV
Onde g é a aceleração da gravidade e dV é o elemento de volume. Como rho é constante:
fv = integralV dfv = rho g integralV dV = rho g V = m g
Onde m = rho V é a massa total do corpo.

Passo 4

Agora, vamos substituir dfv na equação do centro de gravidade:
rcg times fv = integralV r times dfv = integralV r times (rho g , dV) = rho g times integralV r , dV

Passo 5

Se rearranjarmos a equação, temos:
rcg times fv = rho g times integralV r , dV
Sabemos que fv = m g, então substituindo:
rcg times (m g) = rho g times integralV r , dV
Como rho V = m, a equação fica:
rcg times (m g) = m g times 1rho integralV r , dV
Simplificando ambos os lados por m g:
rcg = 1rho V integralV r , dV = 1m integralV r , dm

Passo 6

Observamos que a última expressão é exatamente a definição do centro de massa:
rcm = 1m integralV r , dm
Portanto, mostramos que:
rcg = rcm

Resposta

Para um corpo com densidade uniforme, o centro de gravidade é igual ao centro de massa, ou seja, rcg = rcm.

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