Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de
e tem área
. O volume deste corpo é chamado de
e tem volume
.
Considere que o corpo em questão tem massa específica dada por
. Verifique que a força resultante volumétrica
, associada à ação do campo gravitacional, para este corpo pode ser escrita na forma
onde
é o vetor aceleração gravitacional.
Considere que o corpo em questão tem massa específica dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é chamada de
e tem uma área
. O volume desse corpo é
e a massa específica, ou densidade, é dada por
. A questão pede para a gente mostrar que a força resultante volumétrica
, que vem da ação do campo gravitacional, pode ser escrita como:
Vamos precisar entender conceitos de força gravitacional, integração sobre volume e como a densidade impacta na força total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional que atua sobre uma pequena parte de um corpo é dada por
, onde
é a massa dessa parte e
é a aceleração gravitacional (como a que sentimos na Terra).
Passo 3
Como o corpo tem um volume
e a densidade varia com a posição
, podemos dividir o corpo em pequenas partículas de volume
. A massa de cada partícula é então
.
Passo 4
A força gravitacional sobre essa pequena partícula é:
Passo 5
Para encontrar a força resultante volumétrica total
, precisamos somar (integrar) todas essas pequenas forças sobre todo o volume do corpo. Isso fica:
Resposta
Portanto, mostramos que a força resultante volumétrica associada ao campo gravitacional é: