Considere um corpo de forma (geometria) arbitrária. A superfície externa deste corpo é chamada de S e tem área A. O volume deste corpo é chamado de V e tem volume V.
Considere que o corpo em questão tem massa específica dada por rho(x, y, z). Verifique que a força resultante volumétrica fv, associada à ação do campo gravitacional, para este corpo pode ser escrita na forma
fv=integralV rho g d V
onde g é o vetor aceleração gravitacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo com uma forma qualquer, cuja superfície externa é chamada de S e tem uma área A. O volume desse corpo é V e a massa específica, ou densidade, é dada por rho(x, y, z). A questão pede para a gente mostrar que a força resultante volumétrica fv, que vem da ação do campo gravitacional, pode ser escrita como:
fv=integralV rho g d V
Vamos precisar entender conceitos de força gravitacional, integração sobre volume e como a densidade impacta na força total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional que atua sobre uma pequena parte de um corpo é dada por f = m g, onde m é a massa dessa parte e g é a aceleração gravitacional (como a que sentimos na Terra).

Passo 3

Como o corpo tem um volume V e a densidade varia com a posição (x, y, z), podemos dividir o corpo em pequenas partículas de volume d V. A massa de cada partícula é então dm = rho(x, y, z) d V.

Passo 4

A força gravitacional sobre essa pequena partícula é:
dfv = dm cdot g = rho(x, y, z) g d V

Passo 5

Para encontrar a força resultante volumétrica total fv, precisamos somar (integrar) todas essas pequenas forças sobre todo o volume do corpo. Isso fica:
fv = integralV rho(x, y, z) g d V

Resposta

Portanto, mostramos que a força resultante volumétrica associada ao campo gravitacional é:
fv=integralV rho g d V

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