Considere um corpo girando com velocidade angular
em torno de um eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo
e use coordenadas polares cilíndricas
para especificar as posições das partículas
que formam o corpo.
Mostre que a componente
do momento angular total pode ser escrita como
, onde
é o momento de inércia para o eixo em questão,
Mostre que a componente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo girando com uma velocidade angular
em torno de um eixo fixo, que chamamos de eixo
. Usaremos coordenadas polares cilíndricas (
) para descrever a posição de cada partícula que compõe o corpo. Nosso objetivo é mostrar que a componente
do momento angular total é igual ao momento de inércia
multiplicado pela velocidade angular
, ou seja,
. Para isso, precisamos entender o que é momento angular e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. Para uma partícula, o momento angular
em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição
e o momento linear
:
Como o corpo está girando em torno do eixo
, vamos focar na componente
do momento angular.
Passo 3
Cada partícula
tem uma massa
e está a uma distância
do eixo
. A velocidade linear da partícula é relacionada à velocidade angular pela fórmula:
O momento linear
é então:
Passo 4
Vamos agora calcular a componente
do momento angular para cada partícula. Usando a definição do produto vetorial e sabendo que só a componente no
nos interessa, temos:
Passo 5
Para encontrar o momento angular total
, somamos a contribuição de todas as partículas que formam o corpo:
Podemos fatorar
já que é constante para todas as partículas:
Passo 6
A soma
é justamente a definição do momento de inércia
em relação ao eixo
:
Substituindo na expressão de
, temos:
Resposta
A componente
do momento angular total é igual ao momento de inércia
multiplicado pela velocidade angular
, ou seja: