Considere um corpo girando com velocidade angular omega em torno de um eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo z e use coordenadas polares cilíndricas rhoalpha, varphialpha, zalpha para especificar as posições das partículas alpha=1, ldots, N que formam o corpo.
Mostre que a componente Lz do momento angular total pode ser escrita como Lz=I omega, onde I é o momento de inércia para o eixo em questão,
I=sumalpha=1^N malpha rhoalpha^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo girando com uma velocidade angular omega em torno de um eixo fixo, que chamamos de eixo z. Usaremos coordenadas polares cilíndricas ( rhoalpha, varphialpha, zalpha) para descrever a posição de cada partícula que compõe o corpo. Nosso objetivo é mostrar que a componente Lz do momento angular total é igual ao momento de inércia I multiplicado pela velocidade angular omega, ou seja, Lz = I omega. Para isso, precisamos entender o que é momento angular e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. Para uma partícula, o momento angular L em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r e o momento linear p:
L = r times p
Como o corpo está girando em torno do eixo z, vamos focar na componente Lz do momento angular.

Passo 3

Cada partícula alpha tem uma massa malpha e está a uma distância rhoalpha do eixo z. A velocidade linear da partícula é relacionada à velocidade angular pela fórmula:
valpha = omega rhoalpha
O momento linear palpha é então:
palpha = malpha valpha

Passo 4

Vamos agora calcular a componente Lz do momento angular para cada partícula. Usando a definição do produto vetorial e sabendo que só a componente no z nos interessa, temos:
Lzalpha = ralpha times palpha = malpha rhoalpha valpha = malpha rhoalpha (omega rhoalpha) = malpha omega rhoalpha^2

Passo 5

Para encontrar o momento angular total Lz, somamos a contribuição de todas as partículas que formam o corpo:
Lz = sumalpha=1^N Lzalpha = sumalpha=1^N malpha omega rhoalpha^2
Podemos fatorar omega já que é constante para todas as partículas:
Lz = omega sumalpha=1^N malpha rhoalpha^2

Passo 6

A soma sumalpha=1^N malpha rhoalpha^2 é justamente a definição do momento de inércia I em relação ao eixo z:
I = sumalpha=1^N malpha rhoalpha^2
Substituindo na expressão de Lz, temos:
Lz = I omega

Resposta

A componente Lz do momento angular total é igual ao momento de inércia I multiplicado pela velocidade angular omega, ou seja:
Lz = I omega

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