Considere um corpo girando com velocidade angular
em torno de um eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo
e use coordenadas polares cilíndricas
para especificar as posições das partículas
que formam o corpo.
Mostre que a velocidade da partícula
é
na direção
.
Mostre que a velocidade da partícula
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo todo girando com uma velocidade angular chamada
ao redor de um eixo fixo, tipo uma porta girando nas dobradiças. A posição de cada partícula desse corpo é descrita usando coordenadas cilíndricas:
(a distância do eixo de rotação),
(o ângulo em relação a um ponto de referência) e
(a altura, que não muda aqui). Nosso objetivo é mostrar que a velocidade de qualquer partícula
é igual a
na direção
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, a velocidade de uma partícula tem três componentes: uma na direção
(radial), uma na direção
(angular) e uma na direção
(vertical). A fórmula geral para a velocidade
é:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas respectivas direções.
Passo 3
No nosso caso, como o corpo está girando a uma velocidade angular constante
e o eixo de rotação é fixo, a distância
e a altura
das partículas não mudam com o tempo. Ou seja:
Além disso, o ângulo
muda com o tempo de acordo com a velocidade angular:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da velocidade, temos:
Ou seja:
Isso mostra que a velocidade da partícula
está na direção
e tem magnitude
.
Resposta
A velocidade da partícula
é
na direção
.