Considere um corpo girando com velocidade angular omega em torno de um eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo z e use coordenadas polares cilíndricas rhoalpha, varphialpha, zalpha para especificar as posições das partículas alpha=1, ldots, N que formam o corpo.
Mostre que a velocidade da partícula alpha é rhoalpha omega na direção varphi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo todo girando com uma velocidade angular chamada omega ao redor de um eixo fixo, tipo uma porta girando nas dobradiças. A posição de cada partícula desse corpo é descrita usando coordenadas cilíndricas: rhoalpha (a distância do eixo de rotação), varphialpha (o ângulo em relação a um ponto de referência) e zalpha (a altura, que não muda aqui). Nosso objetivo é mostrar que a velocidade de qualquer partícula alpha é igual a rhoalpha omega na direção varphi. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, a velocidade de uma partícula tem três componentes: uma na direção rho (radial), uma na direção varphi (angular) e uma na direção z (vertical). A fórmula geral para a velocidade v é:
v = drhodt rho + rho dvarphidt varphi + dzdt z
Aqui, rho, varphi e z são os vetores unitários nas respectivas direções.

Passo 3

No nosso caso, como o corpo está girando a uma velocidade angular constante omega e o eixo de rotação é fixo, a distância rhoalpha e a altura zalpha das partículas não mudam com o tempo. Ou seja:
drhoalphadt = 0 e dzalphadt = 0
Além disso, o ângulo varphialpha muda com o tempo de acordo com a velocidade angular:
dvarphialphadt = omega

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da velocidade, temos:
valpha = 0 cdot rho + rhoalpha omega varphi + 0 cdot z
Ou seja:
valpha = rhoalpha omega varphi
Isso mostra que a velocidade da partícula alpha está na direção varphi e tem magnitude rhoalpha omega.

Resposta

A velocidade da partícula alpha é rhoalpha omega na direção varphi.

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