Duas pessoas, cada uma de massa
, estão em pé em uma das extremidades de um vagão de massa
, com rodas sem atrito, em uma estrada de ferro. Elas podem correr para a outra extremidade do vagão e saltar para fora dele com velocidade
(relativa ao vagão).
O que acontece se uma delas começar a correr apenas depois que a outra tiver saltado? Qual dos procedimentos gera a maior velocidade para o vagão?
[Sugestão: a velocidade
é a velocidade de cada uma das pessoas, relativa ao vagão, logo após ele ter saltado; ela tem o mesmo valor para qualquer uma das pessoas e é a mesma nos itens (a) e (b).]
O que acontece se uma delas começar a correr apenas depois que a outra tiver saltado? Qual dos procedimentos gera a maior velocidade para o vagão?
[Sugestão: a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! Temos duas pessoas, cada uma com massa $ m_h $, em um vagão com massa $ m_v $, tudo sobre trilhos sem atrito. Elas podem correr para a outra extremidade do vagão e pular de lá com uma velocidade $ u $ relativa ao vagão. A questão quer saber o que acontece se uma pessoa começa a correr e pular depois da outra ter pulado, e qual dos dois jeitos faz o vagão ganhar mais velocidade. Para resolver isso, vamos usar a conservação do momento linear, que é uma regra da física que diz que, se não tem força externa agindo, o momento total do sistema permanece igual antes e depois de algum evento.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando uma pessoa corre e pula. Antes de qualquer coisa, o sistema (pessoa + vagão) está parado, então o momento total é zero. Quando a pessoa pula com velocidade $ u $ em relação ao vagão, o sistema precisa manter o momento total igual a zero. Vamos chamar a velocidade do vagão de $ V $.
O momento da pessoa após pular é $ m_h \times (V + u) $ porque ela se move a $ u $ em relação ao vagão, que já está se movendo a $ V $. O momento do vagão é $ m_v \times V $. A soma desses momentos deve ser zero:
Resolvendo para $ V $:
Então, o vagão ganha uma velocidade $ V = -\frac{m_h u}{m_h + m_v} $. O sinal negativo indica que o vagão se move na direção oposta ao salto da pessoa.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece se uma pessoa pula primeiro e depois a outra pula. Quando a primeira pessoa pula, o vagão ganha a velocidade $ V_1 = -\frac{m_h u}{m_h + m_v} $, igual ao que vimos antes.
Depois, a segunda pessoa pula. Mas agora, o vagão já está se movendo a $ V_1 $. Quando a segunda pessoa pula com velocidade $ u $ em relação ao vagão, a velocidade total dela em relação ao chão será $ V_1 + u $. O momento da segunda pessoa é então $ m_h (V_1 + u) $, e o momento do vagão agora é $ (m_v + m_h) V_2 $, onde $ V_2 $ é a nova velocidade do vagão.
Aplicando a conservação do momento:
Substituindo $ V_1 = -\frac{m_h u}{m_v + m_h} $:
Simplificando:
Multiplicando tudo por $ m_v + m_h $:
Resolvendo para $ V_2 $:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas situações:
- Uma pessoa pula: o vagão ganha velocidade $ V = -\frac{m_h u}{m_v + m_h} $.
- Duas pessoas pulam em sequência: o vagão ganha velocidade $ V_2 = -\frac{2 m_h u}{m_v + m_h} $.
Perceba que $ V_2 $ é o dobro de $ V $. Isso significa que, quando as duas pessoas pulam uma após a outra, o vagão ganha o dobro de velocidade comparado com apenas uma pessoa pulando.
Resposta
Se uma pessoa pula depois da outra, o vagão ganha o dobro da velocidade comparado a quando apenas uma pessoa pula. Portanto, o procedimento onde as duas pessoas pulam em sequência gera uma velocidade maior para o vagão.