Iniciando pelo somatório anterior e substituindo-o pela integral apropriada, determine o momento de inércia de uma chapa quadrada fina de lado 2 b , girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o momento de inércia de uma chapa quadrada fina com lado de
, girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente de momentos de inércia e integrais para substituir somatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia
em relação a um eixo é:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 3
Como estamos lidando com uma chapa fina e quadrada, vamos considerar que a massa está distribuída uniformemente. Vamos definir um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro da chapa. As dimensões da chapa são de
em cada lado, então as coordenadas variam de
a
tanto no eixo
quanto no eixo
.
Passo 4
Para encontrar o momento de inércia, precisamos expressar
em termos da densidade superficial
(massa por unidade de área). Assim:
Onde
e
são os pequenos elementos de área.
Passo 5
Substituindo
na equação do momento de inércia, temos:
Aqui, usei
porque a distância
do ponto
ao centro é dada por
, e ao elevar ao quadrado, ficamos com
.
Passo 6
Como a densidade
é constante e a chapa é simétrica, podemos calcular uma das integrais e multiplicar por 2. Calculando a integral em relação a
e depois em relação a
:
Resolvendo as integrais:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar a densidade superficial
com a massa total
da chapa. A área da chapa é
, então:
Substituindo na expressão do momento de inércia:
Resposta
O momento de inércia da chapa quadrada é
.