Iniciando pelo somatório anterior e substituindo-o pela integral apropriada, determine o momento de inércia de uma chapa quadrada fina de lado 2 b , girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o momento de inércia de uma chapa quadrada fina com lado de 2b, girando em torno de um eixo perpendicular à chapa e passando pelo seu centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente de momentos de inércia e integrais para substituir somatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia I em relação a um eixo é:
I = integral r^2 , dm
Aqui, r é a distância de um elemento de massa dm ao eixo de rotação.

Passo 3

Como estamos lidando com uma chapa fina e quadrada, vamos considerar que a massa está distribuída uniformemente. Vamos definir um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro da chapa. As dimensões da chapa são de 2b em cada lado, então as coordenadas variam de -b a b tanto no eixo x quanto no eixo y.

Passo 4

Para encontrar o momento de inércia, precisamos expressar dm em termos da densidade superficial sigma (massa por unidade de área). Assim:
dm = sigma , dx , dy
Onde dx e dy são os pequenos elementos de área.

Passo 5

Substituindo dm na equação do momento de inércia, temos:
I = integral-b^b integral-b^b (x^2 + y^2) , sigma , dx , dy
Aqui, usei (x^2 + y^2) porque a distância r do ponto (x, y) ao centro é dada por r = raizx^2 + y^2, e ao elevar ao quadrado, ficamos com x^2 + y^2.

Passo 6

Como a densidade sigma é constante e a chapa é simétrica, podemos calcular uma das integrais e multiplicar por 2. Calculando a integral em relação a x e depois em relação a y:
I = sigma integral-b^b integral-b^b (x^2 + y^2) , dx , dy = sigma ( integral-b^b x^2 , dx times integral-b^b dy + integral-b^b y^2 , dy times integral-b^b dx )
Resolvendo as integrais:
I = sigma ( 2b^33 times 2b + 2b^33 times 2b ) = sigma ( 4b^43 + 4b^43 ) = sigma ( 8b^43 )

Passo 7

Agora, precisamos relacionar a densidade superficial sigma com a massa total M da chapa. A área da chapa é A = (2b) times (2b) = 4b^2, então:
sigma = MA = M4b^2
Substituindo na expressão do momento de inércia:
I = M4b^2 times 8b^43 = 2Mb^23

Resposta

O momento de inércia da chapa quadrada é I = dfrac23 M b^2.

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