Considere um corpo girando com velocidade angular omega em torno de um eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo z e use coordenadas polares cilíndricas rhoalpha, varphialpha, zalpha para especificar as posições das partículas alpha=1, ldots, N que formam o corpo.
Como consequência, mostre que a componente z do momento angular Lalpha da partícula alpha é malpha rhoalpha^2 omega.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrarmos que a componente $ z $ do momento angular $ \mathbf{L}{\alpha} $ de uma partícula $ \alpha $ em um corpo giratório é igual a $ m{\alpha} \rho_{\alpha}^{2} \omega $. Vamos usar conceitos de momento angular e coordenadas polares cilíndricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. Para uma partícula, o momento angular $ \mathbf{L} $ é dado pelo produto vetorial da posição $ \mathbf{r} $ pela quantidade de movimento $ \mathbf{p} $:
L
Como a quantidade de movimento $ \mathbf{p} $ é $ m \mathbf{v} $, podemos escrever:
r

Passo 3

Agora, vamos usar as coordenadas polares cilíndricas $ (\rho_{\alpha}, \varphi_{\alpha}, z_{\alpha}) $. Neste sistema, a posição da partícula $ \alpha $ é:
(rhoalpha, varphialpha, zalpha)
A velocidade $ \mathbf{v}_{\alpha} $ na rotação com velocidade angular $ \omega $ é:
alpha

Passo 4

Vamos substituir $ \mathbf{r}{\alpha} $ e $ \mathbf{v}{\alpha} $ na expressão do momento angular:
ralpha
Calculando o produto vetorial, lembrando que $ \mathbf{e}{\rho} \times \mathbf{e}{\varphi} = \mathbf{e}{z} $ e $ \mathbf{e}{z} \times \mathbf{e}{\varphi} = -\mathbf{e}{\rho} $:
valpha

Resposta

A componente $ z $ do momento angular $ \mathbf{L}{\alpha} $ da partícula $ \alpha $ é $ m{\alpha} \rho_{\alpha}^{2} \omega $.
z

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