- Considere um corpo negro em formato cubico com aresta de 2 cm e temperatura de 5000 K . Calcule a potência espectral por intervalo de comprimento de onda no comprimento de onda no (a) limite entre a luz UV e a luz visivel -400 nm , no (b) no limite entre a luz visivel e a luz infravermelha -700 nm . (c) Quanta potência o corpo irradia como luz visivel?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- A aresta do cubo:
. - Temperatura:
. - Comprimentos de onda de interesse:
e .
- A aresta do cubo:
- O que o enunciado pede:
- (a) Calcular a potência espectral por intervalo de comprimento de onda no comprimento de onda
. - (b) Calcular a potência espectral por intervalo de comprimento de onda no comprimento de onda
. - (c) Calcular quanta potência o corpo irradia como luz visível, ou seja a potência total irradiada no intervalo
.
- (a) Calcular a potência espectral por intervalo de comprimento de onda no comprimento de onda
Observações que vou usar sem pedir nada a mais:
- O corpo é um corpo negro (emissão perfeita), por isso posso usar a lei de Planck e a lei de Stefan–Boltzmann.
- A potência irradiada por todo o cubo por unidade de comprimento de onda (potência espectral do corpo inteiro) é
, onde é a área total da superfície do cubo e é a exitância espectral (potência emitida por unidade de área por unidade de comprimento de onda). - Vou dar as respostas em unidades práticas: potência por intervalo de comprimento de onda em
(ou seja W por nanómetro) e potência total em W.
Passo 2
Fórmulas básicas e explicação (aula curta e pé no chão).
- Lei de Planck (radiância espectral por unidade de comprimento de onda, por unidade de área por unidade de sólido): a função de radiância espectral é
Explicando cada símbolo:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura em kelvin, -
é o comprimento de onda em metros.
- A exitância espectral (potência emitida por unidade de área da superfície por unidade de comprimento de onda) para um emissor ideal (corpo negro) é a integral da radiância sobre os ângulos do semi-espaço; para radiação isotrópica resulta em
Unidades de
:
(ou W·m⁻³); ao multiplicar pela área
obtemos potência por metro de comprimento de onda:
em
. Para converter para
dividimos por
.
- Área do cubo:
- Constante auxiliar útil (vai aparecer nas exponenciais):
(Explico:
tem unidade
e aparece na combinação
.)
Passo 3
Cálculo do fator prefatorial numérico que aparece em
.
O numerador fixo em
é
. Vou calcular um valor prático:
(Determinou-se multiplicando os valores de
e
e fator
; este número tem unidades que garantem
em
quando dividido por
e multiplicado pelo fator exponencial.)
Passo 4
Cálculo detalhado da potência espectral no ponto (a):
.
- Valores numéricos:
- Calcular o expoente
:
- Calcular
:
- Calcular
pela fórmula
Substituindo números aproximados:
Portanto
- Potência espectral do cubo (todo o corpo) por metro de comprimento de onda:
- Converter para
(dividir por ):
Passo 5
Cálculo detalhado da potência espectral no ponto (b):
.
- Valores:
- Expoente:
-
-
Prefator dividido por
:
- Fator exponencial:
- Portanto
- Potência do cubo por metro de comprimento de onda:
- Em
:
Passo 6
Cálculo da potência total irradiada (toda a faixa) e da fração visível.
- A potência total irradiada pelo cubo (todas as wavelengths) é dada por:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann:
.
- Calculando
:
- Então a exitância total por unidade de área:
- Potência total do cubo:
Ou seja cerca de
(≈85 kW).
Passo 7
Cálculo da potência irradiada como luz visível (
a
) usando a mudança de variável padrão para a lei de Planck.
- Mudança de variável:
Com ela a fração da potência total emitida entre
e
é
onde
e
, e o fator
normaliza pela integral total
.
- Para os limites pedidos:
- Cálculo numérico da integral
fiz uma integração numérica por regra de Simpson (passos indicados e pontos amostrados; resumi os valores das avaliações da função). O resultado aproximado obtido foi
- Assim a fração da energia total emitida na faixa visível é
Ou seja aproximadamente
da potência total é irradiada entre
e
.
- Portanto a potência emitida como luz visível é
Resposta
(a)
(b)
(c)