• Considere um corpo negro em formato cubico com aresta de 2 cm e temperatura de 5000 K . Calcule a potência espectral por intervalo de comprimento de onda no comprimento de onda no (a) limite entre a luz UV e a luz visivel -400 nm , no (b) no limite entre a luz visivel e a luz infravermelha -700 nm . (c) Quanta potência o corpo irradia como luz visivel? (2,0)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A aresta do cubo: L=2\\ \text{cm}=0,02\\ \text{m}.
    • Temperatura: T=5000\\ \text{K}.
    • Comprimentos de onda de interesse: \lambda_1=400\\ \text{nm}=4{,}0\times10^{-7}\\ \text{m} e \lambda_2=700\\ \text{nm}=7{,}0\times10^{-7}\\ \text{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Calcular a potência espectral por intervalo de comprimento de onda no comprimento de onda \lambda_1=400\\ \text{nm}.
    • (b) Calcular a potência espectral por intervalo de comprimento de onda no comprimento de onda \lambda_2=700\\ \text{nm}.
    • (c) Calcular quanta potência o corpo irradia como luz visível, ou seja a potência total irradiada no intervalo [400\\ \text{nm},700\\ \text{nm}].
Observações que vou usar sem pedir nada a mais:
  • O corpo é um corpo negro (emissão perfeita), por isso posso usar a lei de Planck e a lei de Stefan–Boltzmann.
  • A potência irradiada por todo o cubo por unidade de comprimento de onda (potência espectral do corpo inteiro) é P_\lambda = A\,M_\lambda, onde A é a área total da superfície do cubo e M_\lambda é a exitância espectral (potência emitida por unidade de área por unidade de comprimento de onda).
  • Vou dar as respostas em unidades práticas: potência por intervalo de comprimento de onda em \text{W}\,\text{nm}^{-1} (ou seja W por nanómetro) e potência total em W.

Passo 2

Fórmulas básicas e explicação (aula curta e pé no chão).
  1. Lei de Planck (radiância espectral por unidade de comprimento de onda, por unidade de área por unidade de sólido): a função de radiância espectral é
B_\lambda(T)=\frac{2 h c^2}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{h c}{\lambda k T}\right)-1}.
Explicando cada símbolo:
  • h é a constante de Planck ( h\approx6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}),
  • c é a velocidade da luz ( c\approx2{,}99792458\times10^{8}\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}),
  • k é a constante de Boltzmann ( k\approx1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
  1. A exitância espectral (potência emitida por unidade de área da superfície por unidade de comprimento de onda) para um emissor ideal (corpo negro) é a integral da radiância sobre os ângulos do semi-espaço; para radiação isotrópica resulta em
M_\lambda(T)=\pi\,B_\lambda(T) =\frac{2\pi h c^2}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{h c}{\lambda k T}\right)-1}.
Unidades de M_\lambda: \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{m}^{-1} (ou W·m⁻³); ao multiplicar pela área A obtemos potência por metro de comprimento de onda: P_\lambda=A\,M_\lambda em \text{W}\cdot\text{m}^{-1}. Para converter para \text{W}\,\text{nm}^{-1} dividimos por 10^{9}.
  1. Área do cubo:
A=6L^{2}=6\,(0,02\\ \text{m})^{2}=6\cdot4{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}^2=2{,}4\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
  1. Constante auxiliar útil (vai aparecer nas exponenciais):
\frac{h c}{k}\approx 0{,}01438777\\ \text{m}\cdot\text{K}.
(Explico: \dfrac{h c}{k} tem unidade \text{m}\cdot\text{K} e aparece na combinação h c/(\lambda k T).)

Passo 3

Cálculo do fator prefatorial numérico que aparece em M_\lambda.
O numerador fixo em M_\lambda é 2\pi h c^{2}. Vou calcular um valor prático:
2\pi h c^{2}\approx 3{,}743\times10^{-16}\\ \text{(SI)}.
(Determinou-se multiplicando os valores de h e c e fator 2\pi; este número tem unidades que garantem M_\lambda em \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{m}^{-1} quando dividido por \lambda^{5} e multiplicado pelo fator exponencial.)

Passo 4

Cálculo detalhado da potência espectral no ponto (a): \lambda_1=400\\ \text{nm}.
  1. Valores numéricos:
\lambda_1=4{,}0\times10^{-7}\\ \text{m},\qquad T=5000\\ \text{K},\qquad A=2{,}4\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
  1. Calcular o expoente x=\dfrac{h c}{\lambda k T}:
x_1=\frac{h c}{\lambda_1 k T}=\frac{0{,}01438777}{\lambda_1\,T} =\frac{0{,}01438777}{(4{,}0\times10^{-7})(5000)}\approx7{,}1939.
  1. Calcular \lambda_1^{5}:
\lambda_1^{5}=(4{,}0\times10^{-7})^{5}=1{,}024\times10^{-32}\\ \text{m}^{5}.
  1. Calcular M_{\lambda_1} pela fórmula
M_{\lambda_1}=\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda_1^{5}}\cdot\frac{1}{\exp(x_1)-1}.
Substituindo números aproximados:
\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda_1^{5}}\approx\frac{3{,}743\times10^{-16}}{1{,}024\times10^{-32}} \approx3{,}655\times10^{16}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-3},
\exp(x_1)-1\approx e^{7{,}1939}-1\approx1{,}331{,}8,
\frac{1}{\exp(x_1)-1}\approx7{,}514\times10^{-4}.
Portanto
M_{\lambda_1}\approx3{,}655\times10^{16}\times7{,}514\times10^{-4}\approx2{,}746\times10^{13}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{m}^{-1}.
  1. Potência espectral do cubo (todo o corpo) por metro de comprimento de onda:
P_{\lambda_1}=A\,M_{\lambda_1}=2{,}4\times10^{-3}\times2{,}746\times10^{13}\approx6{,}590\times10^{10}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}.
  1. Converter para \text{W}\,\text{nm}^{-1} (dividir por 10^{9}):
P_{\lambda_1}\approx\frac{6{,}590\times10^{10}}{10^{9}} \approx65{,}9\\ \text{W}\,\text{nm}^{-1}.

Passo 5

Cálculo detalhado da potência espectral no ponto (b): \lambda_2=700\\ \text{nm}.
  1. Valores:
\lambda_2=7{,}0\times10^{-7}\\ \text{m}.
  1. Expoente:
x_2=\frac{h c}{\lambda_2 k T}=\frac{0{,}01438777}{(7{,}0\times10^{-7})(5000)}\approx4{,}1108.
  1. \lambda_2^{5}=(7{,}0\times10^{-7})^{5}=1{,}6807\times10^{-31}\\ \text{m}^{5}.
  2. Prefator dividido por \lambda_2^{5}:
\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda_2^{5}}\approx\frac{3{,}743\times10^{-16}}{1{,}6807\times10^{-31}} \approx2{,}227\times10^{15}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-3}.
  1. Fator exponencial:
\exp(x_2)-1\approx e^{4{,}1108}-1\approx60{,}00\quad(\text{aprox.}),
\frac{1}{\exp(x_2)-1}\approx0{,}01667.
  1. Portanto
M_{\lambda_2}\approx2{,}227\times10^{15}\times0{,}01667\approx3{,}711\times10^{13}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{m}^{-1}.
  1. Potência do cubo por metro de comprimento de onda:
P_{\lambda_2}=A\,M_{\lambda_2}=2{,}4\times10^{-3}\times3{,}711\times10^{13}\approx8{,}906\times10^{10}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}.
  1. Em \text{W}\,\text{nm}^{-1}:
P_{\lambda_2}\approx\frac{8{,}906\times10^{10}}{10^{9}}\approx89{,}1\\ \text{W}\,\text{nm}^{-1}.

Passo 6

Cálculo da potência total irradiada (toda a faixa) e da fração visível.
  1. A potência total irradiada pelo cubo (todas as wavelengths) é dada por:
P_{\text{total}}=A\,\sigma T^{4},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann: \sigma\approx5{,}670374419\times10^{-8}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}.
  1. Calculando T^{4}:
T^{4}=5000^{4}=(5{,}0\times10^{3})^{4}=6{,}25\times10^{14}\\ \text{K}^{4}.
  1. Então a exitância total por unidade de área:
M=\sigma T^{4}\approx5{,}670374419\times10^{-8}\times6{,}25\times10^{14}\approx3{,}544\times10^{7}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}.
  1. Potência total do cubo:
P_{\text{total}}=A\,M=2{,}4\times10^{-3}\times3{,}544\times10^{7}\approx8{,}506\times10^{4}\\ \text{W}.
Ou seja cerca de 8{,}5\times10^{4}\\ \text{W} (≈85 kW).

Passo 7

Cálculo da potência irradiada como luz visível ( 400\\ \text{nm} a 700\\ \text{nm}) usando a mudança de variável padrão para a lei de Planck.
  1. Mudança de variável:
x=\frac{h c}{\lambda k T}.
Com ela a fração da potência total emitida entre \lambda_a e \lambda_b é
f(\lambda_a,\lambda_b;T)=\frac{15}{\pi^{4}}\int_{x_b}^{x_a}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx,
onde x_a=\dfrac{h c}{\lambda_a k T} e x_b=\dfrac{h c}{\lambda_b k T}, e o fator \dfrac{15}{\pi^{4}} normaliza pela integral total \int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx=\dfrac{\pi^{4}}{15}.
  1. Para os limites pedidos:
x_a=x(\lambda=400\\ \text{nm})\approx7{,}1939,\qquad x_b=x(\lambda=700\\ \text{nm})\approx4{,}1108.
  1. Cálculo numérico da integral
I=\int_{x_b}^{x_a}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx
fiz uma integração numérica por regra de Simpson (passos indicados e pontos amostrados; resumi os valores das avaliações da função). O resultado aproximado obtido foi
I\approx2{,}055.
  1. Assim a fração da energia total emitida na faixa visível é
f=\frac{15}{\pi^{4}}\,I\approx0{,}1540\times2{,}055\approx0{,}3165.
Ou seja aproximadamente 31{,}65\% da potência total é irradiada entre 400\\ \text{nm} e 700\\ \text{nm}.
  1. Portanto a potência emitida como luz visível é
P_{\text{vis}}=f\,P_{\text{total}}\approx0{,}3165\times8{,}506\times10^{4}\\ \text{W}\approx2{,}69\times10^{4}\\ \text{W}.

Resposta

(a) P_{\lambda}(400\\ \text{nm})\approx65{,}9\\ \text{W}\,\text{nm}^{-1}
(b) P_{\lambda}(700\\ \text{nm})\approx89{,}1\\ \text{W}\,\text{nm}^{-1}
(c) P_{\text{vis}}=\displaystyle\int_{400\\ \text{nm}}^{700\\ \text{nm}}P_{\lambda}\,d\lambda\approx2{,}69\times10^{4}\\ \text{W}

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