Considere um corpo negro a uma temperatura de 6000 K. Usando a Lei de Rayleigh-Jeans, calcule a radiância espectral para
. Ao final use a Lei de Planck para calcular
no mesmo comprimento de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a radiância espectral de um corpo negro a 6000 K usando a Lei de Rayleigh-Jeans e, depois, usar a Lei de Planck para o mesmo comprimento de onda de 200 nm. Vamos precisar entender essas duas leis que descrevem como a radiação é emitida por um corpo negro, que é um objeto ideal que absorve toda a radiação que incide sobre ele. Vamos precisar das constantes físicas como a velocidade da luz, a constante de Planck, a constante de Boltzmann e os valores das temperaturas e comprimentos de onda fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o comprimento de onda de nanômetros para metros, porque as constantes que vamos usar estão em unidades do Sistema Internacional. Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Rayleigh-Jeans para calcular a radiância espectral $ S(\lambda) $. A fórmula da Lei de Rayleigh-Jeans é:
Onde:
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^{8} , m/s $),
- $ k $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $),
- $ T $ é a temperatura ($ 6000 , K $),
- $ \lambda $ é o comprimento de onda ($ 200 \times 10^{-9} , m $).
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
Agora, o denominador:
Agora, dividindo os dois:
Passo 5
Agora, vamos usar a Lei de Planck para calcular $ S(\lambda) $. A fórmula da Lei de Planck é:
Onde:
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} , J·s $),
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^{8} , m/s $),
- $ k $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $),
- $ T $ é a temperatura ($ 6000 , K $),
- $ \lambda $ é o comprimento de onda ($ 200 \times 10^{-9} , m $).
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o numerador da primeira fração:
O denominador da primeira fração:
Agora, a exponencial no denominador da segunda fração:
Então, a exponencial fica:
Portanto:
Agora, juntando tudo:
Resposta
A radiância espectral calculada pela Lei de Rayleigh-Jeans é aproximadamente $ 3,105 \times 10^{12} , W·sr{-1}\text{m}{-3} $ e pela Lei de Planck é aproximadamente $ 3,10 \times 10^{25} , W·sr{-1}\text{m}{-3} $ para $ \lambda = 200 , nm $ e $ T = 6000 , K $.