Considere um corpo negro a uma temperatura de 6000 K. Usando a Lei de Rayleigh-Jeans, calcule a radiância espectral para lambda=200 nm. Ao final use a Lei de Planck para calcular S(lambda) no mesmo comprimento de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a radiância espectral de um corpo negro a 6000 K usando a Lei de Rayleigh-Jeans e, depois, usar a Lei de Planck para o mesmo comprimento de onda de 200 nm. Vamos precisar entender essas duas leis que descrevem como a radiação é emitida por um corpo negro, que é um objeto ideal que absorve toda a radiação que incide sobre ele. Vamos precisar das constantes físicas como a velocidade da luz, a constante de Planck, a constante de Boltzmann e os valores das temperaturas e comprimentos de onda fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o comprimento de onda de nanômetros para metros, porque as constantes que vamos usar estão em unidades do Sistema Internacional. Sabemos que:
200 , nm = 200 times 10^-9 , m

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Rayleigh-Jeans para calcular a radiância espectral $ S(\lambda) $. A fórmula da Lei de Rayleigh-Jeans é:
S(lambda)
Onde:
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^{8} , m/s $),
  • $ k $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $),
  • $ T $ é a temperatura ($ 6000 , K $),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda ($ 200 \times 10^{-9} , m $).
Vamos substituir os valores na fórmula:
S(lambda) = 2ckTlambda^4

Passo 4

Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
2 times 3 times 10^8 times 1,38 times 10^-23 times 6000 = 2 times 3 times 6000 times 1,38 times 10^8 - 23 = 36 times 1,38 times 10^-15 = 49,68 times 10^-15
Agora, o denominador:
(200 times 10^-9)^4 = 200^4 times 10^-36 = 1,6 times 10^9 times 10^-36 = 1,6 times 10^-27
Agora, dividindo os dois:
S(lambda) = 49,68 times 10^-151,6 times 10^-27 = 3,105 times 10^12 , W·sr^-1m^-3

Passo 5

Agora, vamos usar a Lei de Planck para calcular $ S(\lambda) $. A fórmula da Lei de Planck é:
S(lambda)
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} , J·s $),
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^{8} , m/s $),
  • $ k $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , J/K $),
  • $ T $ é a temperatura ($ 6000 , K $),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda ($ 200 \times 10^{-9} , m $).
Vamos substituir os valores na fórmula:
S(lambda) = 2hc^2lambda^5 cdot 1e^hclambda k T - 1

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o numerador da primeira fração:
2 times 6,626 times 10^-34 times 9 times 10^16 = 2 times 6,626 times 9 times 10^-34 + 16 = 119,268 times 10^-18 = 1,19268 times 10^-16
O denominador da primeira fração:
(200 times 10^-9)^5 = 200^5 times 10^-45 = 3,2 times 10^11 times 10^-45 = 3,2 times 10^-34
Agora, a exponencial no denominador da segunda fração:
6,626 times 10^-34 times 3 times 10^8200 times 10^-9 times 1,38 times 10^-23 times 6000 = 1,9878 times 10^-251,656 times 10^-17 approx 1,2 times 10^-8
Então, a exponencial fica:
e^1,2 times 10^-8 approx 1 + 1,2 times 10^-8
Portanto:
1e^1,2 times 10^-8 - 1 approx 11,000000012 - 1 = 11,2 times 10^-8 approx 8,333 times 10^7
Agora, juntando tudo:
S(lambda) = 1,19268 times 10^-163,2 times 10^-34 times 8,333 times 10^7 = 3,727 times 10^17 times 8,333 times 10^7 approx 3,10 times 10^25 , W·sr^-1m^-3

Resposta

A radiância espectral calculada pela Lei de Rayleigh-Jeans é aproximadamente $ 3,105 \times 10^{12} , W·sr{-1}\text{m}{-3} $ e pela Lei de Planck é aproximadamente $ 3,10 \times 10^{25} , W·sr{-1}\text{m}{-3} $ para $ \lambda = 200 , nm $ e $ T = 6000 , K $.

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