Considere o corpo Z11.
Resolva o sistema l3 x+7 y=7 6 x+10 y=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações no conjunto dos restos da divisão por 11, que a gente chama de Z11. O sistema é:
3x + 7y = 7 6x + 10y = 5
Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que vai precisar de conhecimentos sobre aritmética modular e como multiplicar inversos nesse sistema.

Passo 2

Vamos começar tentando eliminar uma das variáveis. Vou optar por eliminar o x. Primeiro, precisamos que os coeficientes de x sejam iguais nos dois lados. Olha só:
Na primeira equação, o coeficiente de x é 3. Na segunda, é 6. Se a gente multiplicar a primeira equação por 2, o coeficiente de x vai virar 6, igualando com o da segunda equação. Vamos fazer isso:
Multiplicando a primeira equação por 2:
2 cdot (3x + 7y) = 2 cdot 7 6x + 14y = 14
Como estamos em Z11, simplificando 14:
14 = 14 - 11 = 3
Então, a equação fica:
6x + 3y = 3

Passo 3

Agora temos:
6x + 3y = 3 (Equação 1) 6x + 10y = 5 (Equação 2) çãçã
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar o x:
(6x + 10y) - (6x + 3y) = 5 - 3 0x + 7y = 2
Simplificando:
7y = 2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de y. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de 7 em Z11. Primeiro, encontramos a inversa de 7 mod 11. Procuramos um número k tal que:
7k equiv 1 mod 11
Testando valores, vemos que k=8 funciona porque 7 cdot 8 = 56 equiv 1 mod 11. Então, a inversa de 7 é 8.
Multiplicando ambos os lados por 8:
8 cdot 7y = 8 cdot 2 56y = 16
Simplificando:
56 equiv 56 - 5 cdot 11 = 1 16 equiv 16 - 11 = 5
Então:
1y = 5 y = 5

Passo 5

Agora que sabemos que y = 5, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar x. Vou usar a primeira equação original:
3x + 7y = 7 3x + 7 cdot 5 = 7 3x + 35 = 7
Simplificando 35:
35 equiv 35 - 3 cdot 11 = 2
Então:
3x + 2 = 7 3x = 7 - 2 3x = 5

Passo 6

Para encontrar x, multiplicamos ambos os lados pela inversa de 3 em Z11. A inversa de 3 é 4, porque 3 cdot 4 = 12 equiv 1 mod 11.
Multiplicando:
4 cdot 3x = 4 cdot 5 12x = 20
Simplificando:
12 equiv 1 20 equiv 20 - 11 = 9
Então:
1x = 9 x = 9

Resposta

A solução do sistema em Z11 é x = 9 e y = 5.

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