Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o inverso de 19 no conjunto dos inteiros módulo 41, que é denotado por Z41. Basicamente, precisamos achar um número que, quando multiplicado por 19, dê 1 nesse sistema de módulo 41. Para resolver isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a encontrar inversos multiplicativos em aritmética modular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um inverso em Z41. Queremos encontrar um número x tal que:
19x equiv 1 pmod41
Isso significa que, ao multiplicar 19 por x, o resto da divisão por 41 deve ser 1.
Passo 3
Para encontrar esse x, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido. Ele não só encontra o máximo divisor comum (MDC) de dois números, mas também nos dá uma maneira de expressar esse MDC como uma combinação linear dos números originais. Como 19 e 41 são primos entre si (MDC = 1), sabemos que o inverso de 19 existe em Z41.
Passo 4
Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de 19 e 41:
41 = 2 times 19 + 3 19 = 6 times 3 + 1 3 = 3 times 1 + 0
Aqui, o MDC é 1, o que confirma que o inverso existe.
Passo 5
Agora, vamos reverter as equações para expressar 1 como uma combinação de 19 e 41:
1 = 19 - 6 times 3 3 = 41 - 2 times 19
Substituindo a segunda equação na primeira:
1 = 19 - 6 times (41 - 2 times 19) 1 = 19 - 6 times 41 + 12 times 19 1 = 13 times 19 - 6 times 41
Isso significa que 13 times 19 equiv 1 pmod41.
Passo 6
Portanto, o inverso de 19 em Z41 é 13, porque:
19 times 13 = 247 equiv 1 pmod41
(Você pode verificar que 247 dividido por 41 dá resto 1.)