Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal que representa o operador e a base de autovetores correspondentes (a matriz ).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por:
O objetivo é encontrar os autovalores e uma base para os autospaces (os autovetores associados a cada autovalor). Depois, precisamos verificar se o operador é diagonalizável e, se for, determinar a matriz diagonal que representa e a matriz formada pelos autovetores.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, matriz característica, e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a matriz que representa o operador linear . Como atua em , a matriz será .
A ação de em é:
Podemos escrever isso como uma multiplicação de matriz:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de T , precisamos resolver a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor.
Vamos calcular T - lambda I :
T - lambda I = -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Para resolver a equação lambda^3 - 3lambda - 2 = 0 , vamos tentar encontrar as raízes inteiras possíveis usando o Teorema do Resto. As possíveis raízes são os divisores do termo constante, que são lambda = pm1, pm2 .
Testando lambda = 1 :
1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 neq 0
Testando lambda = -1 :
(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0
Então, lambda = -1 é uma raiz.
Passo 6
Agora, vamos fatorar a equação usando (lambda + 1) como fator:
Portanto, os autovalores são lambda = 2 e lambda = -1 .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para lambda = 2 :
Resolvemos (T - 2I)v = 0 .
T - 2I = -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2
Resolvendo o sistema:
-2x + y + z = 0 x - 2y + z = 0 x + y - 2z = 0
Podemos notar que as três equações são equivalentes, e uma possível solução é x = y = z . Então, um autovetor correspondente é v1 = (1, 1, 1) .
Agora, para lambda = -1 :
Resolvemos (T + I)v = 0 .
T + I = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Esse sistema reduz-se a:
x + y + z = 0
Então, os autovetores são todos os vetores em que x + y + z = 0 . Podemos escolher duas soluções independentes, por exemplo:
v2 = (1, -1, 0) v3 = (1, 0, -1)
Passo 8
Agora que temos os autovalores e os respectivos autovetores, vamos verificar se T é diagonalizável.
Um operador linear é diagonalizável se houver uma base de autovetores, ou seja, se o número de autovetores linearmente independentes for igual ao espaço. No nosso caso, em R^3 , precisamos de três autovetores independentes.
Temos:
Um autovetor para lambda = 2 : v1 = (1, 1, 1)
Dois autovetores para lambda = -1 : v2 = (1, -1, 0) e v3 = (1, 0, -1)
Esses três vetores são linearmente independentes, formando uma base para R^3 .
Passo 9
Como T possui três autovetores linearmente independentes, ele é diagonalizável. Agora, vamos construir a matriz diagonal D e a matriz P .
A matriz P é formada pelos autovetores como colunas:
P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1
A matriz diagonal D tem os autovalores correspondentes na diagonal:
D = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Resposta
Os autovalores do operador T são lambda = 2 e lambda = -1 .
Uma base para os autospaces é formada pelos vetores:
v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 0 -1
O operador T é diagonalizável, e sua representação diagonal é: