Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y)
Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador T é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal D que representa o operador T e a base de autovetores correspondentes (a matriz P ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear T: R^3 R^3 definido por:
T(x, y, z) = (y + z, , x + z, , x + y)
O objetivo é encontrar os autovalores e uma base para os autospaces (os autovetores associados a cada autovalor). Depois, precisamos verificar se o operador T é diagonalizável e, se for, determinar a matriz diagonal D que representa T e a matriz P formada pelos autovetores.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, matriz característica, e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a matriz que representa o operador linear T . Como T atua em R^3 , a matriz será 3 times 3 .
A ação de T em (x, y, z) é:
T(x, y, z) = (y + z, , x + z, , x + y)
Podemos escrever isso como uma multiplicação de matriz:
T = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de T , precisamos resolver a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor.
Vamos calcular T - lambda I :
T - lambda I = -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda
Expandindo o determinante:
-lambda cdot -lambda & 1 1 & -lambda - 1 cdot 1 & 1 1 & -lambda + 1 cdot 1 & -lambda 1 & 1
Calculando cada menor:
-lambda & 1 1 & -lambda = lambda^2 - 1
1 & 1 1 & -lambda = -lambda - 1
1 & -lambda 1 & 1 = 1 + lambda
Substituindo de volta:
-lambda (lambda^2 - 1) - 1 (-lambda - 1) + 1 (1 + lambda) = 0
Simplificando:
-lambda^3 + lambda - (-lambda - 1) + (1 + lambda) = 0
-lambda^3 + lambda + lambda + 1 + 1 + lambda = 0
-lambda^3 + 3lambda + 2 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
lambda^3 - 3lambda - 2 = 0

Passo 5

Para resolver a equação lambda^3 - 3lambda - 2 = 0 , vamos tentar encontrar as raízes inteiras possíveis usando o Teorema do Resto. As possíveis raízes são os divisores do termo constante, que são lambda = pm1, pm2 .
Testando lambda = 1 :
1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 neq 0
Testando lambda = -1 :
(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0
Então, lambda = -1 é uma raiz.

Passo 6

Agora, vamos fatorar a equação usando (lambda + 1) como fator:
lambda^3 - 3lambda - 2 = (lambda + 1)(lambda^2 - lambda - 2)
Agora, resolvemos lambda^2 - lambda - 2 = 0 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então,
lambda = 2 ou lambda = -1
Portanto, os autovalores são lambda = 2 e lambda = -1 .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para lambda = 2 :
Resolvemos (T - 2I)v = 0 .
T - 2I = -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2
Resolvendo o sistema:
-2x + y + z = 0 x - 2y + z = 0 x + y - 2z = 0
Podemos notar que as três equações são equivalentes, e uma possível solução é x = y = z . Então, um autovetor correspondente é v1 = (1, 1, 1) .
Agora, para lambda = -1 :
Resolvemos (T + I)v = 0 .
T + I = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Esse sistema reduz-se a:
x + y + z = 0
Então, os autovetores são todos os vetores em que x + y + z = 0 . Podemos escolher duas soluções independentes, por exemplo:
v2 = (1, -1, 0) v3 = (1, 0, -1)

Passo 8

Agora que temos os autovalores e os respectivos autovetores, vamos verificar se T é diagonalizável.
Um operador linear é diagonalizável se houver uma base de autovetores, ou seja, se o número de autovetores linearmente independentes for igual ao espaço. No nosso caso, em R^3 , precisamos de três autovetores independentes.
Temos:
  • Um autovetor para lambda = 2 : v1 = (1, 1, 1)
  • Dois autovetores para lambda = -1 : v2 = (1, -1, 0) e v3 = (1, 0, -1)
Esses três vetores são linearmente independentes, formando uma base para R^3 .

Passo 9

Como T possui três autovetores linearmente independentes, ele é diagonalizável. Agora, vamos construir a matriz diagonal D e a matriz P .
A matriz P é formada pelos autovetores como colunas:
P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1
A matriz diagonal D tem os autovalores correspondentes na diagonal:
D = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

Os autovalores do operador T são lambda = 2 e lambda = -1 .
Uma base para os autospaces é formada pelos vetores:
v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 0 -1
O operador T é diagonalizável, e sua representação diagonal é:
D = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
A matriz P que diagonaliza T é:
P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1

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