Considere que a corrente que entra pelo terminal positivo de um elemento seja i=2(e^-2 t-1) A, t>0 e i =0, t<0. (a) Se a tensão é v=4 didt V mostre que a energia entregue ao elemento é não negativa para todo tempo.

Passo 1

O enunciado dá a corrente
i(t)= 2l(e^-2t-1r) A,&t>0, 0,&t<0,
e a tensão
v(t)=4,didt V
O que queremos é mostrar que a energia entregue ao elemento
w(t)=integral-infty^tv(tau),i(tau),dtau
é não negativa para todo t.

Passo 2

Primeiro vamos achar di/dt para t>0. Como
i(t)=2l(e^-2t-1r),
temos
didt =2l(-2e^-2tr) =-4e^-2t
Logo, para t>0,
v(t)=4cdotl(-4e^-2tr)=-16e^-2t V

Passo 3

A potência instantânea é
p(t)=v(t),i(t) =-16e^-2t;times;2l(e^-2t-1r) =-32l(e^-4t-e^-2tr) =32l(e^-2t-e^-4tr)
Para t>0 vale e^-2t>= e^-4t, então
p(t)=32l(e^-2t-e^-4tr)>=0
E para t<0 temos i=0 e v=0, logo p=0.

Passo 4

Agora calculamos a energia acumulada a partir de t=-infty. Como para t<0 tudo é zero, basta integrar de 0 até t>0:
w(t)=integral0^tp(tau),dtau = integral0^t4,i(tau),didtau,dtau =4integrali(0)^i(t)i,di =2l[i(t)r]^2-2l[i(0)r]^2
Como i(0)=2(e^0-1)=0, sobra
w(t)=2l[i(t)r]^2>=0

Resposta

A energia w(t) é dada por
w(t)=2l[i(t)r]^2>=0
para todo t, ou seja, é não negativa em todo instante.

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