Considere f(x, y, z)=5 x e^6 y cos (10 z). Quanto vale partial^3 fpartial x partial y partial z(x, y)?
Escolha uma opção:
a. e^6 y sen(10 z)
b. 300 e^6 y sen(6 z)
c. 300 e^6 y sen(5 z)
d. 30 e^6 y sen(10 z)
e. -300 e^6 y sen(10 z)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a terceira derivada parcial de $ f(x, y, z) = 5x e^{6y} \cos(10z) $ em relação a $ x $, depois $ y $ e depois $ z $. Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e regras de diferenciação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f $ em relação a $ x $. A derivada parcial em relação a $ x $ significa que tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
f
Aqui, $ e^{6y} $ e $ \cos(10z) $ são constantes em relação a $ x $, então aplicamos a regra da derivada de uma constante multiplicando $ x $:
x

Passo 3

Agora, vamos derivar $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em relação a $ y $:
partial fpartial x
Neste caso, $ 5 $ e $ \cos(10z) $ são constantes em relação a $ y $, então usamos a derivada da função exponencial:
y

Passo 4

Por fim, vamos derivar $ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $ em relação a $ z $:
partial^2 fpartial y partial x
Aqui, $ 30 e^{6y} $ é constante em relação a $ z $, então aplicamos a derivada da função cosseno:
z

Resposta

A terceira derivada parcial é $ -300 e^{6y} \sin(10z) $. Portanto, a opção correta é:
e. $ -300 e^{6 y} \operatorname{sen}(10 z) $

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