Quantos valores disttintos assume a expressão , se ?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta quantos valores distintos a expressão $ A = i^{n} + i^{-n} $ pode assumir, onde $ n $ é um número natural. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especificamente sobre as potências da unidade imaginária $ i $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a unidade imaginária $ i $ tem uma propriedade interessante em relação às suas potências. Sabemos que:
E a partir daí, as potências começam a se repetir a cada 4 termos. Portanto, para qualquer $ n $, $ i^{n} $ pode ser reduzido ao seu equivalente dentro desse ciclo de 4.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão $ A = i^{n} + i^{-n} $. Para facilitar, lembramos que $ i^{-n} $ é o inverso multiplicativo de $ i^{n} $, ou seja:
Como $ i^{n} $ tem módulo 1, $ i^{-n} $ é simplesmente o conjugado de $ i^{n} $.
Passo 4
Vamos calcular $ A $ para os primeiros 4 valores de $ n $, já que o ciclo de $ i^{n} $ se repete a cada 4:
Para $ n = 1 $:
A
Para $ n = 2 $:
n
Para $ n = 3 $:
i^n
Para $ n = 4 $:
n = 1
Passo 5
Observando os valores obtidos:
A = 0, -2, 0, 2
Percebemos que os valores distintos são: -2, 0 e 2.