Quantos valores disttintos assume a expressão A=i^n+i^-n, se n in N ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quantos valores distintos a expressão $ A = i^{n} + i^{-n} $ pode assumir, onde $ n $ é um número natural. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especificamente sobre as potências da unidade imaginária $ i $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a unidade imaginária $ i $ tem uma propriedade interessante em relação às suas potências. Sabemos que:
i
E a partir daí, as potências começam a se repetir a cada 4 termos. Portanto, para qualquer $ n $, $ i^{n} $ pode ser reduzido ao seu equivalente dentro desse ciclo de 4.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão $ A = i^{n} + i^{-n} $. Para facilitar, lembramos que $ i^{-n} $ é o inverso multiplicativo de $ i^{n} $, ou seja:
A = i^n + i^-n é
Como $ i^{n} $ tem módulo 1, $ i^{-n} $ é simplesmente o conjugado de $ i^{n} $.

Passo 4

Vamos calcular $ A $ para os primeiros 4 valores de $ n $, já que o ciclo de $ i^{n} $ se repete a cada 4:
  • Para $ n = 1 $:
A
  • Para $ n = 2 $:
n
  • Para $ n = 3 $:
i^n
  • Para $ n = 4 $:
n = 1

Passo 5

Observando os valores obtidos:
A = 0, -2, 0, 2
Percebemos que os valores distintos são: -2, 0 e 2.

Resposta

3

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