lim x 2 x^3+x^2-4 xx^2+6 x+5=421 p.) Prove, pela definição de limite, que |f(x)-421| & =|x^3+x^2-4 xx^2+6 x+5-421| & =|21 x^3+17 x^2-108 x-2021(x^2+6 x+5)| & =|(x-2) cdot(21 x^2+59 x+10)21(x^2+6 x+5)| & =|x-2| cdot|21 x^2+59 x+10|21|x^2+6 x+5| .
Solução:
Notemos que
de
Para |x-2|<1 Rightarrow 1, temos que |f(x)-421| & =|x-2| cdot|21 x^2+59 x+10|21|x^2+6 x+5| & =|x-2| cdot 21 cdot 3^2+59 cdot 3+1021 cdot 5 & =376105 cdot|x-2| & , donde seque que
|x-2|<105 epsilon376
sempre que . Portanto, para segue que .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e quais ferramentas precisamos. Queremos provar, pela definição de limite, que se f(x)= (x^3+x^2-4x)/(x^2+6x+5) então limxto2f(x)=4/21. O conteúdo aqui é limite de função racional pela definição ε–δ: precisamos manipular a expressão |f(x)-L|<ε e encontrar uma expressão para δ em função de ε.

Passo 2

Reescrevemos a diferença |f(x)-4/21| em uma única fração e simplificamos o numerador:
|f(x)-4/21|=|x^3+x^2-4xx^2+6x+5-421|=|21x^3+17x^2-108x-2021(x^2+6x+5)|

Passo 3

Fatoramos o polinômio do numerador para evidenciar x-2:
21x^3+17x^2-108x-20=(x-2)(21x^2+59x+10),
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|f(x)-4/21|=|x-2|cdot|21x^2+59x+10|21,|x^2+6x+5|

Passo 4

Para controlar a fração sem |x-2|, impomos |x-2|<1, o que garante 1. Nesse intervalo temos
|21x^2+59x+10|<=21cdot9+59cdot3+10=376, |x^2+6x+5|>=1^2+6cdot1+5=12
Portanto
|f(x)-4/21|<=|x-2|37621cdot12=9463,|x-2|

Passo 5

Para que 9463|x-2|<ε e simultaneamente |x-2|<1, basta escolher δ de modo a satisfazer ambas. Isso completa a prova de que, dado ε>0, existe δ>0 tal que se 0<|x-2|<δ então |f(x)−4/21|<ε.

Resposta

de

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