p.) Prove, pela definição de limite, que .
Solução:
Notemos que
Para |x-2|<1 Rightarrow 1, temos que |f(x)-421| & =|x-2| cdot|21 x^2+59 x+10|21|x^2+6 x+5| & =|x-2| cdot 21 cdot 3^2+59 cdot 3+1021 cdot 5 & =376105 cdot|x-2| & , donde seque que
|x-2|<105 epsilon376
sempre que . Portanto, para segue que .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e quais ferramentas precisamos. Queremos provar, pela definição de limite, que se f(x)=(x^3+x^2-4x)/(x^2+6x+5) então limxto2f(x)=4/21. O conteúdo aqui é limite de função racional pela definição ε–δ: precisamos manipular a expressão |f(x)-L|<ε e encontrar uma expressão para δ em função de ε.
Passo 2
Reescrevemos a diferença |f(x)-4/21| em uma única fração e simplificamos o numerador:
Para que 9463|x-2|<ε e simultaneamente |x-2|<1, basta escolher δ de modo a satisfazer ambas. Isso completa a prova de que, dado ε>0, existe δ>0 tal que se 0<|x-2|<δ então |f(x)−4/21|<ε.