Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}\left\{e^{2 t}(t-1)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de \;e^{2 t}(t-1)^{2}.
Informações dadas:
  • A função a transformar é \;f(t)=e^{2 t}(t-1)^{2}, definida para t\ge0.
  • Precisa-se de \mathcal{L}\{e^{2 t}(t-1)^{2}\}, isto é a função de s obtida pela integral da transformada de Laplace.

Passo 2

Definição e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • A transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa; a integral converge para valores de \Re(s) suficientemente grandes.
  • Propriedade da linearidade: para constantes a,b e funções g,h,
\mathcal{L}\{a g(t)+b h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
Isso permite transformar polinômios termo a termo.
  • Fórmula útil para potências de t: para inteiro não negativo n,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},
válida para \Re(s)>0. (Posso mostrar uma dedução rápida para n=2 se quiser — é por integração por partes repetida.)
  • Teorema do deslocamento na variável s (shift in s): se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então para constante real a,
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s-a),
desde que G(s-a) seja definido (isto define a região de convergência deslocada). Aqui a=2, o que desloca s\mapsto s-2.

Passo 3

Primeiro simplificar a parte polinomial (t-1)^{2} usando álgebra:
(t-1)^{2}=t^{2}-2t+1.
Pelo princípio da linearidade,
\mathcal{L}\{(t-1)^{2}\}(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)-2\mathcal{L}\{t\}(s)+\mathcal{L}\{1\}(s).

Passo 4

Calcular cada transformada usando a fórmula \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}}:
  • Para n=2: \displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
  • Para n=1: \displaystyle \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}.
  • Para constante 1: \displaystyle \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.
Portanto
\mathcal{L}\{(t-1)^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}-\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}.

Passo 5

Aplicar o teorema do deslocamento com a=2. Como \mathcal{L}\{(t-1)^{2}\}(s)=G(s) acima, então
\mathcal{L}\{e^{2 t}(t-1)^{2}\}(s)=G(s-2)=\frac{2}{(s-2)^{3}}-\frac{2}{(s-2)^{2}}+\frac{1}{(s-2)}.
A condição de convergência fica \Re(s)>2 (porque a transformação de (t-1)^{2} exigia \Re(s)>0 e o deslocamento por +2 desloca a região para a direita).

Passo 6

Simplificar a expressão somando as frações sobre o mesmo denominador (s-2)^{3}. Juntando termos:
\frac{2}{(s-2)^{3}}-\frac{2}{(s-2)^{2}}+\frac{1}{(s-2)} =\frac{2-2(s-2)+(s-2)^{2}}{(s-2)^{3}}.
Calcular o numerador:
2-2(s-2)+(s-2)^{2}=(s-2)^{2}-2(s-2)+2.
Expandindo:
(s-2)^{2}-2(s-2)+2 = s^{2}-4s+4 -2s+4 +2 = s^{2}-6s+10.
Logo uma forma compacta é
\mathcal{L}\{e^{2 t}(t-1)^{2}\}(s)=\frac{s^{2}-6s+10}{(s-2)^{3}},\qquad \Re(s)>2.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{2 t}(t-1)^{2}\}(s)=\frac{2}{(s-2)^{3}}-\frac{2}{(s-2)^{2}}+\frac{1}{(s-2)}=\frac{s^{2}-6s+10}{(s-2)^{3}},\\ \Re(s)>2

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