Nos itens a seguir, calcule as transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
, definida para . - Precisa-se de
, isto é a função de obtida pela integral da transformada de Laplace.
Passo 2
Definição e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- A transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa; a integral converge para valores de
suficientemente grandes.
- Propriedade da linearidade: para constantes
e funções ,
Isso permite transformar polinômios termo a termo.
- Fórmula útil para potências de
: para inteiro não negativo ,
válida para
. (Posso mostrar uma dedução rápida para
se quiser — é por integração por partes repetida.)
- Teorema do deslocamento na variável
(shift in ): se , então para constante real ,
desde que
seja definido (isto define a região de convergência deslocada). Aqui
, o que desloca
.
Passo 3
Primeiro simplificar a parte polinomial
usando álgebra:
Pelo princípio da linearidade,
Passo 4
Calcular cada transformada usando a fórmula
:
- Para
: - Para
: - Para constante 1:
Portanto
Passo 5
Aplicar o teorema do deslocamento com
. Como
acima, então
A condição de convergência fica
(porque a transformação de
exigia
e o deslocamento por
desloca a região para a direita).
Passo 6
Simplificar a expressão somando as frações sobre o mesmo denominador
. Juntando termos:
Calcular o numerador:
Expandindo:
Logo uma forma compacta é