Considere z=\cos \left(\frac{8 \pi}{5}\right)-isen \left(\frac{8 \pi}{5}\right) um número complexo com \mathrm{i}=\sqrt{-1}. O valor da expressão
1+2 z+3 z^{2}+4 z^{3}+5 z^{4}+6 z^{5}-2 z^{6}-3 z^{7}-4 z^{8}-5 z^{9}+7 z^{10}
é igual a:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z=\cos\!\left(\frac{8\pi}{5}\right)-\mathrm{i}\sin\!\left(\frac{8\pi}{5}\right),
com \mathrm{i}=\sqrt{-1}, e pede o valor da expressão
1+2z+3z^{2}+4z^{3}+5z^{4}+6z^{5}-2z^{6}-3z^{7}-4z^{8}-5z^{9}+7z^{10}.
As alternativas oferecidas são: (A) 10, (B) 11, (C) 12, (D) 13, (E) 14.

Passo 2

Interpretar z usando a fórmula de Euler. Lembre que
e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta,
portanto
\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta=e^{-\mathrm{i}\theta}.
Aplicando ao caso, com \theta=\dfrac{8\pi}{5},
z=\cos\!\left(\frac{8\pi}{5}\right)-\mathrm{i}\sin\!\left(\frac{8\pi}{5}\right)=e^{-\mathrm{i}\,8\pi/5}.
Agora reduza o expoente módulo 2\pi:
-\frac{8\pi}{5}+\frac{10\pi}{5}=\frac{2\pi}{5},
então
z=e^{\mathrm{i}2\pi/5}.

Passo 3

Identificar a propriedade fundamental: como z=e^{\mathrm{i}2\pi/5}, tem-se
z^{5}=e^{\mathrm{i}2\pi}=1.
Isto significa que z é uma raiz quinta da unidade e que potências de z se reduzem módulo 5:
z^{5}=1,\quad z^{6}=z,\quad z^{7}=z^{2},\quad z^{8}=z^{3},\quad z^{9}=z^{4},\quad z^{10}=1.
(Estas igualdades vêm de multiplicar z^{5}=1 por z, z^{2},\dots.)

Passo 4

Substituir as reduções acima na expressão original. Usando z^{5}=1 e as relações listadas,
\begin{aligned} &1+2z+3z^{2}+4z^{3}+5z^{4}+6z^{5}-2z^{6}-3z^{7}-4z^{8}-5z^{9}+7z^{10}\\[4pt] ={}&1+2z+3z^{2}+4z^{3}+5z^{4}+6-2z-3z^{2}-4z^{3}-5z^{4}+7. \end{aligned}
Agora agrupar termos semelhantes: os coeficientes de z, z^{2}, z^{3}, z^{4} anulam-se (por exemplo 2z-2z=0, 3z^{2}-3z^{2}=0, etc.), restando apenas a soma dos termos constantes
1+6+7.]

Passo 5

Interpretando o resultado final dos passos acima, a expressão reduz-se ao valor numérico dado pela soma dos termos constantes obtida no passo anterior.

Resposta

E) 14

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