Considere a função f(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0.5. Determine \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, usando:
Método das Secantes com \varepsilon=0.01.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x-\sin(x)-0,5 e pede para encontrar \bar{x} tal que f(\bar{x})=0, usando o Método das Secantes com tolerância \varepsilon=0,01.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x-\sin(x)-0,5.
  • O método a usar é o Método das Secantes.
  • A tolerância desejada é \varepsilon=0,01.
    Nada mais foi fornecido (por exemplo, não há palpites iniciais). A partir daqui começa a resolução.

Passo 2

O que é e como funciona o Método das Secantes (aula rápida, bem prática):
  • A ideia: aproximar a raiz de f(x)=0 traçando a reta que passa por dois pontos (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_k,f(x_k)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{k+1}.
  • Fórmula do passo da secante:
x_{k+1}=x_k - f(x_k)\,\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
Explicando as variáveis:
  • x_{k-1} e x_k são as duas últimas aproximações conhecidas (inicialmente dois palpites).
  • f(x_{k-1}) e f(x_k) são os valores da função nesses pontos.
  • x_{k+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da reta secante com o eixo x.
Critério de parada escolhido (explicação e escolha): vou usar como critério de parada o valor absoluto do resíduo, isto é parar quando
|f(x_k)|<\varepsilon=0,01.
Motivo: é um critério direto sobre quão perto a função está de zero; é adequado quando se quer garantir |f(x)| pequeno como no enunciado f(\bar{x})=0.

Passo 3

Escolha dos palpites iniciais x_0 e x_1 (não foi dado no enunciado, então escolho de forma natural procurando mudança de sinal):
  • Avalio f(0)=0-\sin(0)-0,5=-0,5.
  • Avalio f(1)=1-\sin(1)-0,5. Usando \sin(1)\approx 0,8414709848 obtemos
f(1)=1-0,8414709848-0,5\approx -0,3414709848.
  • Avalio f(2)=2-\sin(2)-0,5. Usando \sin(2)\approx 0,9092974268 obtemos
f(2)=2-0,9092974268-0,5\approx 0,5907025732.
Como f(1)<0 e f(2)>0 há uma raiz entre 1 e 2. Então escolho x_0=1 e x_1=2.
Agora aplico a fórmula da secante iterativamente.

Passo 4

Iteração 1 (usar x_0=1, x_1=2):
  • Valores já calculados: f(x_0)=f(1)\approx -0,3414709848,\qquad f(x_1)=f(2)\approx 0,5907025732.
  • Fórmula: x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
  • Substituindo: x_2 = 2 - 0,5907025732\cdot\frac{2-1}{0,5907025732-(-0,3414709848)} \approx 2 - \frac{0,5907025732}{0,93217355798}\approx 1,366215.
  • Calculo de f(x_2). Usando \sin(1,366215)\approx 0,9791437 (aproximação por calculadora/tabela): f(1,366215)=1,366215-0,9791437-0,5\approx -0,1129287.
  • Verificação do critério: |f(x_2)|\approx 0,1129>0,01. Ainda não satisfez a tolerância.

Passo 5

Iteração 2 (usar x_1=2, x_2\approx 1,366215):
  • Temos f(x_1)\approx 0,5907025732 e f(x_2)\approx -0,1129287.
  • Aplico a fórmula: x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
  • Substituindo os números: x_3 \approx 1,366215 - (-0,1129287)\cdot\frac{1,366215-2}{-0,1129287-0,5907025732} \approx 1,467921.
  • Calculo de f(x_3). Usando \sin(1,467921)\approx 0,9947123: f(1,467921)=1,467921-0,9947123-0,5\approx -0,0267913.
  • Verificação do critério: |f(x_3)|\approx 0,0268>0,01. Ainda não satisfez.

Passo 6

Iteração 3 (usar x_2\approx 1,366215, x_3\approx 1,467921):
  • Temos f(x_2)\approx -0,1129287 e f(x_3)\approx -0,0267913.
  • Aplico a fórmula: x_4 = x_3 - f(x_3)\,\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
  • Substituindo: x_4 \approx 1,467921 - (-0,0267913)\cdot\frac{1,467921-1,366215}{-0,0267913-(-0,1129287)} \approx 1,499566.
  • Calculo de f(x_4). Usando \sin(1,499566)\approx 0,9974643: f(1,499566)=1,499566-0,9974643-0,5\approx 0,0021017.
  • Verificação do critério: |f(x_4)|\approx 0,00210<0,01. Critério satisfeito, podemos parar.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova:
  • A aproximação encontrada é \bar{x}\approx 1,499566, pois nesse ponto a função já está suficientemente próxima de zero segundo a tolerância pedida.
  • Em prova, se não houver calculadora para senos, busque um intervalo onde haja mudança de sinal (como entre 1 e 2) e faça poucas iterações da secante: as contas acima podem ser feitas com poucas casas decimais porque a tolerância \varepsilon=0,01 é relativamente grosseira.
  • Sempre anote os f(x_k) com 3–4 casas decimais para ter segurança ao aplicar a fórmula da secante.

Resposta

\bar{x}\approx 1,499566

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