Considere a função
. Determine
tal que
, usando:
Método das Secantes com
.
Método das Secantes com
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
tal que
, usando o Método das Secantes com tolerância
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - O método a usar é o Método das Secantes.
- A tolerância desejada é
.
Nada mais foi fornecido (por exemplo, não há palpites iniciais). A partir daqui começa a resolução.
Passo 2
O que é e como funciona o Método das Secantes (aula rápida, bem prática):
- A ideia: aproximar a raiz de
traçando a reta que passa por dois pontos e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação . - Fórmula do passo da secante:
Explicando as variáveis:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas (inicialmente dois palpites). -
e são os valores da função nesses pontos. -
é a nova aproximação obtida pela interseção da reta secante com o eixo .
Critério de parada escolhido (explicação e escolha): vou usar como critério de parada o valor absoluto do resíduo, isto é parar quando
Motivo: é um critério direto sobre quão perto a função está de zero; é adequado quando se quer garantir
pequeno como no enunciado
.
Passo 3
Escolha dos palpites iniciais
e
(não foi dado no enunciado, então escolho de forma natural procurando mudança de sinal):
- Avalio
. - Avalio
. Usando obtemos
- Avalio
. Usando obtemos
Como
e
há uma raiz entre
e
. Então escolho
e
.
Agora aplico a fórmula da secante iterativamente.
Passo 4
Iteração 1 (usar
,
):
- Valores já calculados:
- Fórmula:
- Substituindo:
- Calculo de
. Usando (aproximação por calculadora/tabela): - Verificação do critério:
. Ainda não satisfez a tolerância.
Passo 5
Iteração 2 (usar
,
):
- Temos
e . - Aplico a fórmula:
- Substituindo os números:
- Calculo de
. Usando : - Verificação do critério:
. Ainda não satisfez.
Passo 6
Iteração 3 (usar
,
):
- Temos
e . - Aplico a fórmula:
- Substituindo:
- Calculo de
. Usando : - Verificação do critério:
. Critério satisfeito, podemos parar.
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova:
- A aproximação encontrada é
, pois nesse ponto a função já está suficientemente próxima de zero segundo a tolerância pedida. - Em prova, se não houver calculadora para senos, busque um intervalo onde haja mudança de sinal (como entre
e ) e faça poucas iterações da secante: as contas acima podem ser feitas com poucas casas decimais porque a tolerância é relativamente grosseira. - Sempre anote os
com 3–4 casas decimais para ter segurança ao aplicar a fórmula da secante.