Seja z um número tal que |z-3 i| \leq 1 com i a unidade imaginária dos números complexos. Sabendo que p e q são respectivamente o valor máximo e mínimo do |z-4|, então o valor de \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1+p & 1 \\\\ 1 & 1 & 1+q\end{array}\right| vale:
A) 12
B) 15
C) 18
D) 24
E) 36

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • z é um número complexo tal que \lvert z-3i\rvert \le 1.
  • p é o valor máximo de \lvert z-4\rvert quando z varia nesse conjunto.
  • q é o valor mínimo de \lvert z-4\rvert quando z varia nesse conjunto.
  • Pede-se o valor do determinante
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1+p & 1 \\\\ 1 & 1 & 1+q \end{array}\right|.

Passo 2

Interpretação geométrica e ideia para achar p e q.
  • A desigualdade \lvert z-3i\rvert \le 1 descreve o disco (ou círculo fechado) no plano complexo com centro em 3i e raio 1.
  • Queremos as distâncias de pontos desse disco até o ponto 4 (isto é, o ponto 4+0i).
  • Denotando o centro por c=3i e o ponto fixo por a=4, seja d=\lvert c-a\rvert a distância entre os centros.
  • Pelo triângulo e desigualdade triangular reversa vale, para qualquer z do disco: \lvert d - \lvert z-c\rvert\rvert \le \lvert z-a\rvert \le d + \lvert z-c\rvert.Como \lvert z-c\rvert \le 1 para todo z no disco, obtemos d-1 \le \lvert z-a\rvert \le d+1.
  • Portanto:
    • o máximo p de \lvert z-4\rvert é p = d+1 (acontece quando z fica no ponto do disco mais afastado de a);
    • o mínimo q de \lvert z-4\rvert é q = d-1 (acontece quando z fica no ponto do disco mais próximo de a), desde que d\ge1 (o que garante que q\ge0 e é atingido).

Passo 3

Calcular d, p e q.
  • O centro é c=3i e o ponto a=4. Então
d=\lvert c-a\rvert=\lvert 3i-4\rvert=\lvert -4+3i\rvert=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
  • Assim
p = d+1 = 5+1 = 6, \qquad q = d-1 = 5-1 = 4.

Passo 4

Calcular o determinante da matriz usando operações de linha.
Escrevendo a matriz:
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1+p & 1 \\\\ 1 & 1 & 1+q \end{pmatrix}.
Fazer as operações de linha R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Essas operações não alteram o determinante. Obtemos a matriz triangular:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & p & 0 \\\\ 0 & 0 & q \end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, logo
\det(M)=1\cdot p\cdot q = p q.
Substituindo os valores encontrados:
\det(M)=6\cdot 4 = 24.

Passo 5

Interpretação final: o valor do determinante é 24, que corresponde à alternativa D).

Resposta

D) 24

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