Seja z um número tal que |z-3 i| \leq 1 com i a unidade imaginária dos números complexos. Sabendo que p e q são respectivamente o valor máximo e mínimo do |z-4|, então o valor de \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1+p & 1 \\\\ 1 & 1 & 1+q\end{array}\right| vale:
A) 12
B) 15
C) 18
D) 24
E) 36
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
z é um número complexo tal que \lvert z-3i\rvert \le 1.
p é o valor máximo de \lvert z-4\rvert quando z varia nesse conjunto.
q é o valor mínimo de \lvert z-4\rvert quando z varia nesse conjunto.
Interpretação geométrica e ideia para achar p e q.
A desigualdade \lvert z-3i\rvert \le 1 descreve o disco (ou círculo fechado) no plano complexo com centro em 3i e raio 1.
Queremos as distâncias de pontos desse disco até o ponto 4 (isto é, o ponto 4+0i).
Denotando o centro por c=3i e o ponto fixo por a=4, seja d=\lvert c-a\rvert a distância entre os centros.
Pelo triângulo e desigualdade triangular reversa vale, para qualquer z do disco:\lvert d - \lvert z-c\rvert\rvert \le \lvert z-a\rvert \le d + \lvert z-c\rvert.Como \lvert z-c\rvert \le 1 para todo z no disco, obtemosd-1 \le \lvert z-a\rvert \le d+1.
Portanto:
o máximo p de \lvert z-4\rvert é p = d+1 (acontece quando z fica no ponto do disco mais afastado de a);
o mínimo q de \lvert z-4\rvert é q = d-1 (acontece quando z fica no ponto do disco mais próximo de a), desde que d\ge1 (o que garante que q\ge0 e é atingido).