Considere o cubo cujos vértices são
& (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) & (1,0,1),(1,1,1) e(0,1,1)
Use métodos vetoriais para localizar o ponto a um terço do caminho da origem até o meio da face cujos vértices cujos vértices são (0,1,0),(0,1,1),(1,1,1) e ( 1,1,0 ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo com vértices nas coordenadas dadas. A tarefa é usar métodos vetoriais para encontrar um ponto que está a um terço do caminho da origem (0,0,0) até o meio da face formada pelos vértices (0,1,0), (0,1,1), (1,1,1) e (1,1,0). Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com vetores e calcular pontos ao longo de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o meio da face que foi mencionada. A face é um quadrado com os vértices (0,1,0), (0,1,1), (1,1,1) e (1,1,0). Para achar o meio dessa face, podemos calcular a média das coordenadas dos seus vértices.
As coordenadas do meio (M) são dadas por:
M = ( 0 + 0 + 1 + 14, 1 + 1 + 1 + 14, 0 + 1 + 1 + 04 ) = ( 24, 44, 24 ) = (0.5, 1, 0.5)

Passo 3

Agora, queremos encontrar um ponto que está um terço do caminho da origem (0,0,0) até o meio da face (0.5, 1, 0.5). Para isso, vamos usar uma combinação linear dos vetores, também conhecida como interpolação vetorial.
A fórmula para encontrar um ponto P que está a uma fração t do caminho de A para B é:
P = A + t cdot (B - A)
Onde:
  • A é a origem (0,0,0)
  • B é o meio da face (0.5, 1, 0.5)
  • t é a fração do caminho, que no nosso caso é 13.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula. Substituindo os valores:
P = (0,0,0) + 13 cdot ( (0.5, 1, 0.5) - (0,0,0) ) = 13 cdot (0.5, 1, 0.5)
Calculando cada coordenada:
Px = 13 cdot 0.5 = 0.53 = 16 approx 0.1667
Py = 13 cdot 1 = 13 approx 0.3333
Pz = 13 cdot 0.5 = 0.53 = 16 approx 0.1667

Resposta

O ponto que está a um terço do caminho da origem até o meio da face é (16, 13, 16), ou aproximadamente (0.1667, 0.3333, 0.1667).

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