Determine o valor de
para os quais as retas
se interceptam. Qual o ponto de interseção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
que faz com que as retas
e
se interceptem, ou seja, se cruzem em um ponto comum. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e equações paramétricas de retas. Precisamos igualar as coordenadas das duas retas e encontrar os valores dos parâmetros que satisfazem essas igualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas de cada reta:
- Reta
:
- Reta
:
Aqui, usei
para o parâmetro da reta
e
para o parâmetro da reta
para evitar confusão.
Passo 3
Para que as retas se interceptem, deve existir um ponto
que pertença a ambas. Isso significa que devemos ter:
Vamos resolver essas equações para encontrar
,
e
.
Passo 4
Começando pela equação (3):
Agora que temos
, podemos substituir esse valor na equação (1) para encontrar
:
Passo 5
Com
e
, vamos usar a equação (2) para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar o ponto de interseção substituindo
na equação de
:
Alternativamente, substituindo
na equação de
:
Confirmamos que o ponto é o mesmo para ambas as retas.
Resposta
O valor de
é 26 e o ponto de interseção das retas
e
é
.