Determine o valor de c para os quais as retas
P=(t,-6 t+c, 2 t-8) e Q=(3 t+1,2 t, 0)
se interceptam. Qual o ponto de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de c que faz com que as retas P e Q se interceptem, ou seja, se cruzem em um ponto comum. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e equações paramétricas de retas. Precisamos igualar as coordenadas das duas retas e encontrar os valores dos parâmetros que satisfazem essas igualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas de cada reta:
  • Reta P :
P(t) = (t,, -6t + c,, 2t - 8)
  • Reta Q :
Q(s) = (3s + 1,, 2s,, 0)
Aqui, usei t para o parâmetro da reta P e s para o parâmetro da reta Q para evitar confusão.

Passo 3

Para que as retas se interceptem, deve existir um ponto (x, y, z) que pertença a ambas. Isso significa que devemos ter:
t = 3s + 1 (1)
-6t + c = 2s (2)
2t - 8 = 0 (3)
Vamos resolver essas equações para encontrar t , s e c .

Passo 4

Começando pela equação (3):
2t - 8 = 0 Rightarrow 2t = 8 Rightarrow t = 4
Agora que temos t = 4 , podemos substituir esse valor na equação (1) para encontrar s :
4 = 3s + 1 Rightarrow 3s = 3 Rightarrow s = 1

Passo 5

Com t = 4 e s = 1 , vamos usar a equação (2) para encontrar c :
-6(4) + c = 2(1) Rightarrow -24 + c = 2 Rightarrow c = 26

Passo 6

Agora que temos t = 4 , podemos encontrar o ponto de interseção substituindo t na equação de P(t) :
P(4) = (4,, -6(4) + 26,, 2(4) - 8) = (4,, -24 + 26,, 8 - 8) = (4,, 2,, 0)
Alternativamente, substituindo s = 1 na equação de Q(s) :
Q(1) = (3(1) + 1,, 2(1),, 0) = (4,, 2,, 0)
Confirmamos que o ponto é o mesmo para ambas as retas.

Resposta

O valor de c é 26 e o ponto de interseção das retas P e Q é (4, 2, 0) .

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