Determine números reais a, b e c tais que
a(3,1)+b(6,2)+c(-1,1)=(5,6)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores: (3, 1), (6, 2) e (-1, 1), e queremos encontrar os números reais a , b e c de forma que, quando multiplicamos cada vetor por esses números e somamos tudo, o resultado seja o vetor (5, 6). Isso envolve álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada. Multiplicando cada componente dos vetores pelos seus respectivos coeficientes a , b e c , temos:
a cdot (3,1) + b cdot (6,2) + c cdot (-1,1) = (5,6)
Isso dá duas equações, uma para cada componente:
3a + 6b - c = 5 (componente x)
a + 2b + c = 6 (componente y)

Passo 3

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
3a + 6b - c = 5 a + 2b + c = 6
Para resolver esse sistema, podemos usar o método da soma ou substituição. Vamos somar as duas equações para eliminar c :
(3a + 6b - c) + (a + 2b + c) = 5 + 6
4a + 8b = 11
Simplificando essa equação dividindo todos os termos por 4:
a + 2b = 114

Passo 4

Agora, temos uma equação com duas incógnitas a e b :
a + 2b = 114
Podemos expressar a em função de b :
a = 114 - 2b

Passo 5

Com a expresso em termos de b , vamos substituir esse valor na segunda equação original para encontrar c :
a + 2b + c = 6
( 114 - 2b ) + 2b + c = 6
114 + c = 6
Resolvendo para c :
c = 6 - 114 = 244 - 114 = 134

Passo 6

Agora que temos c = 134 , podemos escolher um valor para b e encontrar a correspondente. No entanto, como temos mais incógnitas do que equações, existe infinitas soluções. Vamos assumir que b = 0 para simplificar:
a = 114 - 2(0) = 114
Portanto, uma das soluções é:
a = 114, b = 0, c = 134

Resposta

Uma solução é a = 114 , b = 0 e c = 134 , pois:
114(3,1) + 0(6,2) + 134(-1,1) = (5,6)

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