Determine números reais
e
tais que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores: (3, 1), (6, 2) e (-1, 1), e queremos encontrar os números reais
,
e
de forma que, quando multiplicamos cada vetor por esses números e somamos tudo, o resultado seja o vetor (5, 6). Isso envolve álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação vetorial de forma mais detalhada. Multiplicando cada componente dos vetores pelos seus respectivos coeficientes
,
e
, temos:
Isso dá duas equações, uma para cada componente:
Passo 3
Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Para resolver esse sistema, podemos usar o método da soma ou substituição. Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Simplificando essa equação dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
Agora, temos uma equação com duas incógnitas
e
:
Podemos expressar
em função de
:
Passo 5
Com
expresso em termos de
, vamos substituir esse valor na segunda equação original para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escolher um valor para
e encontrar
correspondente. No entanto, como temos mais incógnitas do que equações, existe infinitas soluções. Vamos assumir que
para simplificar:
Portanto, uma das soluções é:
Resposta
Uma solução é
,
e
, pois: