Item 2) Considere os pontos A=(4,-1,1), B=(5,0,2), C=(5,1,5).
(a) Determine a área do triângulo A B C : \square
(b) Determine o ponto Q da reta A B tal que: a medida do segmento C Q é a altura do triângulo A B C relativa à base A B.
Q=(\square), \square)

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb R^3:
A=(4,-1,1),\quad B=(5,0,2),\quad C=(5,1,5),
e pede duas coisas:
(a) a área do triângulo ABC;
(b) o ponto Q sobre a reta AB tal que o segmento CQ seja a altura relativa à base AB.
Para resolver, vamos usar: produto vetorial para achar a área e projeção ortogonal (produto interno) para determinar o pé da perpendicular.

Passo 2

Definimos os vetores
\vec{AB} = B - A = (1,1,1), \quad \vec{AC} = C - A = (1,2,4).

Passo 3

A área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}. Calculamos
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & 1 & 1 \\[3pt] 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (4-2)\,\mathbf{i} - (4-1)\,\mathbf{j} + (2-1)\,\mathbf{k} = (2,-3,1).
Seu módulo é
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}.
Logo, a área é
\text{Área} = \frac12\,\sqrt{14}.Á]

Passo 4

Para achar Q, escrevemos o ponto genérico da reta AB por parâmetro t:
Q = A + t\,\vec{AB} = (4,-1,1) + t\,(1,1,1).
Como CQ deve ser perpendicular a \vec{AB}, imponho
\vec{AB}\cdot (C - Q) = 0.
Mas C-Q = \vec{AC} - t\,\vec{AB}, então
\vec{AB}\cdot(\vec{AC} - t\,\vec{AB}) = \vec{AB}\cdot\vec{AC} - t\,\|\vec{AB}\|^2 = 0.

Passo 5

Calculamos os produtos internos:
\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 1\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot4 = 7, \quad \|\vec{AB}\|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3.
Da condição vem
t = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|^2} = \frac{7}{3}.
Então
Q = (4,-1,1) + \frac{7}{3}(1,1,1) = \Bigl(4+\tfrac{7}{3},\,-1+\tfrac{7}{3},\,1+\tfrac{7}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{19}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{10}{3}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}.
(b) \displaystyle Q=\Bigl(\tfrac{19}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{10}{3}\Bigr).

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