Verifique se a função
é um homomorfismo e determine o núcleo de cada um, nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado define a aplicação
, onde
e
, dada por
O conteúdo aqui é o de homomorfismo de grupos abelianos (com operação de soma). Vamos verificar se
preserva a soma e, em seguida, determinar o núcleo de
.
Passo 2
A definição de homomorfismo de grupos abelianos diz que
é homomorfismo se, para quaisquer
, vale
Passo 3
Calculemos cada lado:
enquanto
Como os dois resultados coincidem para todos os pares, concluímos que
é um homomorfismo de grupos abelianos.
Passo 4
O núcleo de
é
Resposta
Sim,
é um homomorfismo de grupos abelianos, e