Verifique se a função f: A \rightarrow B é um homomorfismo e determine o núcleo de cada um, nos seguintes casos:
A=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, B=\mathbb{Z}, f(x, y)=(x, y)=x

Passo 1

O enunciado define a aplicação
\;f\colon A\to B, onde A=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} e B=\mathbb{Z}, dada por
f(x,y)=x.
O conteúdo aqui é o de homomorfismo de grupos abelianos (com operação de soma). Vamos verificar se f preserva a soma e, em seguida, determinar o núcleo de f.

Passo 2

A definição de homomorfismo de grupos abelianos diz que f é homomorfismo se, para quaisquer (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, vale
f\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =\;f(x_1+x_2,\;y_1+y_2) \;=\;f(x_1,y_1)\;+\;f(x_2,y_2).

Passo 3

Calculemos cada lado:
f\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =f(x_1+x_2,y_1+y_2) =x_1+x_2,
enquanto
f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2) =x_1+x_2.
Como os dois resultados coincidem para todos os pares, concluímos que f é um homomorfismo de grupos abelianos.

Passo 4

O núcleo de f é
\ker(f) =\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid f(x,y)=0\} =\{(x,y)\mid x=0\} =\{(0,y)\mid y\in\mathbb{Z}\}.

Resposta

Sim, f é um homomorfismo de grupos abelianos, e
\ker(f)=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{Z}\}.

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