Determine a área do triângulo em R^3 dado pelos vértices A=(0,0,-1), B=(4,-1,5) e C=(-2,7,3). Esse triângulo é equilátero? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices A=(0,0,-1), B=(4,-1,5) e C=(-2,7,3) em R^3, e perguntar se ele é equilátero. Para isso vamos usar:
  1. Produto vetorial para achar a área via
Área = tfrac12 | AB times AC | Á
  1. Distância entre pontos para checar igualdade dos comprimentos dos lados.

Passo 2

Calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (4,-1,5) - (0,0,-1) = (4,,-1,,6),
AC = C - A = (-2,7,3) - (0,0,-1) = (-2,,7,,4)

Passo 3

Fazer o produto vetorial ABtimesAC:
ABtimesAC = i & j & k 4 & -1 & 6 -2 & 7 & 4 = (-46,,-28,,26)

Passo 4

Calcular a norma do produto e a área:
|(-46,,-28,,26)| =raiz(-46)^2+(-28)^2+26^2 =raiz3576 =2raiz894
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Área = tfrac12|ABtimesAC| =tfrac12cdot2raiz894 =raiz894 Á

Passo 5

Calcular os comprimentos dos lados:
|AB|=raiz4^2+(-1)^2+6^2=raiz53, |AC|=raiz(-2)^2+7^2+4^2=raiz69,
BC=C-B =(-6,8,-2), |BC|=raiz(-6)^2+8^2+(-2)^2=raiz104

Passo 6

Comparando raiz53, raiz69 e raiz104, vemos que são todos diferentes. Portanto o triângulo não é equilátero.

Resposta

Área =raiz894.
Não é equilátero, pois os três lados têm comprimentos distintos.

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